tag:blogger.com,1999:blog-80657452436832742192024-03-19T05:54:59.046-07:00MatematikaUnknownnoreply@blogger.comBlogger8125tag:blogger.com,1999:blog-8065745243683274219.post-27092320684237763192012-10-19T17:55:00.001-07:002012-10-19T17:55:46.853-07:00Soal dan Pembahasan Peluang<div><p><a href="http://matematikanet.com/peluang-kelas-xi/">Peluang </a><a href="http://matematikanet.com/peluang-kelas-xi/">Kelas</a><a href="http://matematikanet.com/peluang-kelas-xi/"> </a><a href="http://matematikanet.com/peluang-kelas-xi/">XI</a><a href="http://matematikanet.com/peluang-kelas-xi/"> | </a><a href="http://matematikanet.com/peluang-kelas-xi/">MatematikaNet.Com</a><br>
</p>
</div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8065745243683274219.post-90013937172155205192012-09-29T16:58:00.001-07:002012-10-01T21:24:28.647-07:00Ukuran Pemusatan Data<div><p>Materi SMK Muhammadiyah  <br>
Ukuran Statistikan Data</p>
</div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8065745243683274219.post-9594517854471906082010-11-25T22:11:00.001-08:002010-11-25T22:11:38.883-08:00Soal Matematika1. Rika akan membuat semua rusuk balok dari seutas kawat yang panjangnya tidak diketahui. Panjang, lebar, dan tinggi balok tersebut memenuhi perbandingan 3:2:1. Diketahui bahwa panjang balok adalah 1,5 m. Berapa panjang kawat semula jika ternyata setelah selesai, panjang kawat yang tersisa adalah 0,5 m ?<br />
<br />
2. Tom dapat memakan 3 kue dalam 2 menit, sedangkan Jerry dapat memakan 2 kue dalam 3 menit. Berapa kue yang dapat mereka makan secara bersama-sama dalam setengah jam ?Unknownnoreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-8065745243683274219.post-83804061401196321622010-03-06T22:47:00.000-08:002010-03-06T22:47:11.685-08:00Teori HimpunanHimpunan (set)<br />
<br />
<br />
<br />
• Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. <br />
<br />
• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. <br />
<br />
Cara Penyajian Himpunan<br />
<br />
1. Enumerasi<br />
<br />
<br />
Contoh 1. <br />
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. <br />
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}. <br />
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku} <br />
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }<br />
- C = {a, {a}, {{a}} }<br />
- K = { {} } <br />
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } <br />
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}. <br />
Keanggotaan<br />
x A : x merupakan anggota himpunan A; <br />
x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.<br />
<br />
<br />
Contoh 2. <br />
Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }<br />
K = {{}}<br />
maka<br />
3 * A<br />
5 * B<br />
{a, b, c} R<br />
c R <br />
{} K<br />
{} R <br />
Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka<br />
a P1<br />
a P2<br />
P1 P2<br />
P1 P3<br />
P2 P3 <br />
<br />
<br />
2. Simbol-simbol Baku<br />
<br />
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }<br />
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }<br />
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }<br />
Q = himpunan bilangan rasional<br />
R = himpunan bilangan riil<br />
C = himpunan bilangan kompleks<br />
<br />
<br />
• Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. <br />
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.<br />
<br />
<br />
3. Notasi Pembentuk Himpunan<br />
<br />
Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x } <br />
<br />
<br />
Contoh 4. <br />
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5<br />
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}<br />
atau <br />
A = { x | x * P, x < 5 } <br />
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}<br />
<br />
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151} <br />
<br />
<br />
4. Diagram Venn<br />
<br />
Contoh 5. <br />
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. <br />
Diagram Venn:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Kardinalitas<br />
• Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.<br />
• Notasi: n(A) atau A <br />
<br />
Contoh 6.<br />
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 }, <br />
atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 <br />
(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5<br />
(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3 <br />
<br />
Himpunan Kosong<br />
• Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).<br />
• Notasi : atau {}<br />
<br />
<br />
Contoh 7. <br />
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0<br />
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0<br />
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0 <br />
<br />
• himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}<br />
• himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}<br />
• {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong. <br />
<br />
<br />
Himpunan Bagian (Subset)<br />
• Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. <br />
• Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.<br />
• Notasi: A B<br />
<br />
• Diagram Venn:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Contoh 8.<br />
(i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}<br />
(ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3} <br />
(iii) N * Z * R * C<br />
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y 0 } dan <br />
B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B * A. <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:<br />
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A * A).<br />
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( * * A).<br />
(c) Jika A B dan B C, maka A C<br />
<br />
• * * A dan A * A, maka * dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. <br />
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A. <br />
<br />
• A B berbeda dengan A B<br />
(i) A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B.<br />
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. <br />
<br />
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}<br />
<br />
(ii) A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.<br />
<br />
<br />
Himpunan yang Sama<br />
• A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. <br />
• A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B.<br />
<br />
• Notasi : A = B A B dan B A<br />
<br />
<br />
Contoh 9. <br />
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B<br />
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B<br />
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B <br />
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:<br />
(a) A = A, B = B, dan C = C <br />
(b) jika A = B, maka B = A<br />
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C<br />
<br />
<br />
Himpunan yang Ekivalen<br />
<br />
• Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.<br />
<br />
• Notasi : A ~ B A = B<br />
<br />
<br />
Contoh 10. <br />
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4 <br />
<br />
<br />
Himpunan Saling Lepas<br />
• Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.<br />
<br />
• Notasi : A // B <br />
<br />
• Diagram Venn: <br />
<br />
<br />
Contoh 11. <br />
Jika A = { x | x * P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B. <br />
Himpunan Kuasa<br />
<br />
• Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. <br />
<br />
• Notasi : P(A) atau 2A<br />
<br />
• Jika A = m, maka P(A) = 2m. <br />
<br />
Contoh 12. <br />
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { *, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} <br />
Contoh 13.<br />
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}. <br />
<br />
Operasi Terhadap Himpunan<br />
a. Irisan (intersection)<br />
<br />
• Notasi : A B = { x x A dan x B }<br />
<br />
<br />
<br />
Contoh 14.<br />
(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, <br />
maka A B = {4, 10}<br />
(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A * B = *. <br />
Artinya: A // B <br />
b. Gabungan (union)<br />
<br />
• Notasi : A B = { x x A atau x B }<br />
<br />
<br />
<br />
Contoh 15.<br />
(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A * B = { 2, 5, 7, 8, 22 }<br />
(ii) A * * = A <br />
<br />
<br />
c. Komplemen (complement)<br />
<br />
• Notasi : = { x x U, x A }<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Contoh 16. <br />
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },<br />
(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}<br />
(ii) jika A = { x | x/2 * P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 } <br />
<br />
Contoh 17. Misalkan:<br />
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri<br />
B = himpunan semua mobil impor<br />
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990<br />
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta<br />
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu<br />
<br />
(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” (E A) (E B) atau E (A B)<br />
<br />
(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” A C D<br />
<br />
(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” <br />
<br />
<br />
d. Selisih (difference)<br />
<br />
• Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Contoh 18. <br />
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = *<br />
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}<br />
<br />
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)<br />
<br />
• Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)<br />
<br />
<br />
Contoh 19. <br />
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A * B = { 3, 4, 5, 6 }<br />
<br />
<br />
<br />
Contoh 20. Misalkan <br />
U = himpunan mahasiswa<br />
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80<br />
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80<br />
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80. <br />
(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Q<br />
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Q<br />
(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P Q) <br />
<br />
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:<br />
(a) A B = B A (hukum komutatif)<br />
(b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
f. Perkalian Kartesian (cartesian product)<br />
<br />
• Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }<br />
<br />
<br />
Contoh 20. <br />
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka <br />
C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }<br />
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka <br />
A B = himpunan semua titik di bidang datar<br />
<br />
Catatan: <br />
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B.<br />
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a).<br />
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong.<br />
Pada Contoh 20(i) di atas, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } C D.<br />
4. Jika A = atau B = , maka A B = B A = <br />
<br />
Contoh 21. Misalkan<br />
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }<br />
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }<br />
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?<br />
Jawab: <br />
A B = AB = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}. <br />
Contoh 21. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:<br />
(a) P(Æ) (b) Æ ´ P(Æ) (c) {Æ}´ P(Æ) (d) P(P({3})) <br />
Penyelesaian:<br />
(a) P(Æ) = {Æ}<br />
(b) Æ ´ P(Æ) = Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)<br />
(c) {Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))<br />
(d) P(P({3})) = P({ Æ, {3} }) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} } <br />
<br />
<br />
Perampatan Operasi Himpunan<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Contoh 22.<br />
<br />
(i) A *(B1*B2 * ... *Bn) = (A* B1) * (A * B2) * ... * (A * Bn)<br />
<br />
<br />
(ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, }, maka<br />
A B C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ), (2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) } <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hukum-hukum Himpunan<br />
<br />
1. Hukum identitas:<br />
* A * * = A<br />
* A * U = A<br />
2. Hukum null/dominasi:<br />
* A * * = *<br />
* A * U = U<br />
<br />
3. Hukum komplemen:<br />
* A * = U<br />
* A * = *<br />
4. Hukum idempoten:<br />
* A * A = A<br />
* A * A = A<br />
<br />
5. Hukum involusi:<br />
* = A<br />
6. Hukum penyerapan (absorpsi):<br />
* A * (A * B) = A<br />
* A * (A * B) = A<br />
<br />
7. Hukum komutatif:<br />
* A * B = B * A<br />
* A * B = B * A<br />
8. Hukum asosiatif:<br />
* A * (B * C) = (A * B) * C<br />
* A * (B * C) = (A * B) * C<br />
<br />
9. Hukum distributif:<br />
* A * (B * C) = (A * B) * (A * C)<br />
* A * (B * C) = (A * B) * (A * C)<br />
10. Hukum De Morgan:<br />
* = <br />
* = <br />
<br />
11. Hukum 0/1 <br />
* = U<br />
* = <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Prinsip Dualitas<br />
• Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. <br />
Contoh: AS kemudi mobil di kiri depan<br />
Inggris (juga Indonesia) kemudi mobil di kanan depan <br />
Peraturan:<br />
(a) di Amerika Serikat,<br />
- mobil harus berjalan di bagian kanan jalan, <br />
- pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,<br />
- bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung<br />
<br />
(b) di Inggris,<br />
- mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,<br />
- pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,<br />
- bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung<br />
<br />
Prinsip dualitas:<br />
Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris. <br />
<br />
<br />
• (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti *, *, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti * *, * *, * U, U *, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S. <br />
<br />
<br />
<br />
1. Hukum identitas:<br />
A * * = A<br />
Dualnya:<br />
A * U = A<br />
<br />
2. Hukum null/dominasi:<br />
A * * = *<br />
Dualnya:<br />
A * U = U<br />
<br />
3. Hukum komplemen:<br />
A * = U<br />
Dualnya:<br />
A * = *<br />
<br />
4. Hukum idempoten:<br />
A * A = A<br />
Dualnya:<br />
A * A = A<br />
<br />
5. Hukum penyerapan:<br />
A * (A * B) = A <br />
Dualnya:<br />
A * (A * B) = A<br />
<br />
6. Hukum komutatif:<br />
A * B = B * A <br />
Dualnya:<br />
A * B = B * A<br />
<br />
7. Hukum asosiatif:<br />
A * (B * C) = (A * B) * C<br />
Dualnya:<br />
A * (B * C) = (A * B) * C<br />
<br />
8. Hukum distributif:<br />
A * (B * C)=(A * B) * (A * C)<br />
Dualnya:<br />
A * (B * C) = (A * B) * (A * C)<br />
<br />
9. Hukum De Morgan:<br />
= * <br />
Dualnya:<br />
= * <br />
<br />
10. Hukum 0/1 <br />
= U<br />
Dualnya:<br />
= <br />
<br />
<br />
Contoh 23. Dual dari (A * B) * (A * ) = A adalah <br />
(A * B) * (A * ) = A. <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Prinsip Inklusi-Eksklusi<br />
<br />
Untuk dua himpunan A dan B:<br />
<br />
A B = A + B – A B <br />
<br />
A B = A +B – 2A B <br />
<br />
<br />
Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?<br />
Penyelesaian:<br />
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,<br />
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,<br />
A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),<br />
<br />
yang ditanyakan adalah A B. <br />
<br />
A = 100/3 = 33, <br />
B = 100/5 = 20, <br />
A B = 100/15 = 6<br />
<br />
A B = A + B – A B = 33 + 20 – 6 = 47<br />
<br />
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5. <br />
<br />
Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku<br />
<br />
A B C = A + B + C – A B – <br />
A C – B C + A B C <br />
<br />
<br />
Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:<br />
<br />
A1 A2 … Ar = Ai – Ai Aj + <br />
Ai Aj Ak + … + <br />
(-1)r-1 A1 A2 … Ar <br />
<br />
Partisi<br />
• Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:<br />
(a) A1 A2 … = A, dan<br />
(b) Ai Aj = untuk i j <br />
<br />
Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A. <br />
<br />
<br />
Himpunan Ganda<br />
• Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset). <br />
Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}. <br />
• Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.<br />
<br />
• Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1. <br />
<br />
• Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.<br />
Operasi Antara Dua Buah Multiset:<br />
Misalkan P dan Q adalah multiset:<br />
<br />
1. P * Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.<br />
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c }, <br />
P * Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }<br />
<br />
<br />
2. P * Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.<br />
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c } <br />
P * Q = { a, a, c }<br />
<br />
<br />
3. P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan:<br />
* multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif<br />
* 0, jika selisihnya nol atau negatif.<br />
Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c, <br />
c, d, d, f } maka P – Q = { a, e }<br />
<br />
<br />
4. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q. <br />
Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },<br />
P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }<br />
<br />
<br />
<br />
Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan<br />
• Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan. <br />
• Pernyataan dapat berupa:<br />
1. Kesamaan (identity)<br />
Contoh: Buktikan “A (B C) = (A B) (A C)” <br />
2. Implikasi<br />
Contoh: Buktikan bahwa “Jika A B = dan A (B C) maka selalu berlaku bahwa A C”. <br />
<br />
<br />
1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn<br />
<br />
Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A (B C) = (A B) (A C) dengan diagram Venn. <br />
Bukti:<br />
<br />
A (B C) (A B) (A C) <br />
<br />
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. <br />
Terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A C). <br />
<br />
<br />
• Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya. <br />
• Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal. <br />
<br />
2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan<br />
<br />
Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C). <br />
<br />
Bukti:<br />
<br />
A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C)<br />
0 0 0 0 0 0 0 0<br />
0 0 1 1 0 0 0 0<br />
0 1 0 1 0 0 0 0<br />
0 1 1 1 0 0 0 0<br />
1 0 0 0 0 0 0 0<br />
1 0 1 1 1 0 1 1<br />
1 1 0 1 1 1 0 1<br />
1 1 1 1 1 1 1 1<br />
Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C) sama, maka A (B C) = (A B) (A C). <br />
<br />
<br />
3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.<br />
Contoh 28. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A B) (A ) = A<br />
Bukti: <br />
(A B) (A ) = A (B ) (Hukum distributif)<br />
= A U (Hukum komplemen)<br />
= A (Hukum identitas) <br />
<br />
Contoh 29. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A (B – A) = A B<br />
Bukti:<br />
A (B – A) = A (B ) (Definisi operasi selisih)<br />
= (A B) (A ) (Hukum distributif)<br />
= (A B) U (Hukum komplemen)<br />
= A B (Hukum identitas) <br />
<br />
Contoh 30. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa<br />
(i) A ( B) = A B dan<br />
(ii) A ( B) = A B<br />
Bukti:<br />
(i) A ( B) = ( A ) (A B) (H. distributif)<br />
= U (A B) (H. komplemen)<br />
= A B (H. identitas) <br />
<br />
(ii) adalah dual dari (i) <br />
A ( B) = (A ) (A B) (H. distributif)<br />
= (A B) (H. komplemen)<br />
= A B (H. identitas) <br />
<br />
<br />
4. Pembuktian dengan menggunakan definisi <br />
• Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian ( atau ).<br />
<br />
Contoh 31. Misalkan A dan B himpunan. Jika A B = dan A (B C) maka A C. Buktikan!<br />
Bukti:<br />
(i) Dari definisi himpunan bagian, P Q jika dan hanya jika setiap x P juga Q. Misalkan x A. Karena A (B C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga (B C). <br />
Dari definisi operasi gabungan (), x (B C) berarti x B atau x C.<br />
(ii) Karena x A dan A B = , maka x B<br />
<br />
Dari (i) dan (ii), x C harus benar. Karena x A juga berlaku x C, maka dapat disimpulkan A C . <br />
<br />
Tipe Set dalam Bahasa Pascal<br />
• Bahasa Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal (integer, character). <br />
<br />
Contoh:<br />
<br />
type<br />
HurufBesar = ‘A’..‘Z’; { enumerasi }<br />
Huruf = set of HurufBesar;<br />
var<br />
HurufKu : Huruf;<br />
<br />
<br />
Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:<br />
<br />
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’];<br />
HurufKu:=[‘M’];<br />
HurufKu:=[]; { himpunan kosong }<br />
<br />
• Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan adalah operasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut:<br />
<br />
{gabungan}<br />
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];<br />
<br />
{irisan}<br />
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’]; <br />
<br />
{selisih}<br />
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’, ‘E’]; <br />
<br />
• Uji keanggotaan sebuah elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in seperti contoh berikut:<br />
<br />
if ‘A’ in HurufKu then ...<br />
• Di dalam kakas pemrograman Delphi, set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan icon untuk window:<br />
<br />
type<br />
TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize, <br />
biMaximaze);<br />
Huruf = set of TBoderIcon;Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8065745243683274219.post-69963010872127976582010-02-27T19:21:00.000-08:002010-02-27T19:25:22.857-08:00Olympiade Matematika<a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgM26RatlYu_CjxOxPOX_0PGUCzg2hsyA3flEGx-CZiyBzrO15dBqXzJonKsJGdEaoOGMgnq3UPDMzWXigKILRGKs194juoCpna3zTLtb1JTNh98UR3BiPgjNMg3DPAtb9RZGNS22WdvLc/s1600-h/segitiga-sama-sisi.jpg"><img style="float:left; margin:0 10px 10px 0;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 278px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgM26RatlYu_CjxOxPOX_0PGUCzg2hsyA3flEGx-CZiyBzrO15dBqXzJonKsJGdEaoOGMgnq3UPDMzWXigKILRGKs194juoCpna3zTLtb1JTNh98UR3BiPgjNMg3DPAtb9RZGNS22WdvLc/s320/segitiga-sama-sisi.jpg" border="0" alt=""id="BLOGGER_PHOTO_ID_5443130128527987362" /></a><br />Dalam segitiga sama sisi ABC, dibuat garis dari titik P ke titik A, B dan C untuk membentuk tiga segitiga yang sama. Titik D, E fan F adalah titik tengah ketiga sisi segitiga tersebut, dan ketiganya dihubungkan seperti pada gambar berikut.Berapakah bagian dari segitiga ABC yang diarsir berwarna kuning ?<br />A. 1/5<br />B. 5/34<br />C. 1/4<br />D. 2/9<br /><br />Ayo Coba?Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8065745243683274219.post-9257897351242718432010-02-27T00:19:00.000-08:002010-02-27T00:31:06.416-08:00Soal Matematika SD<a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhG1v1zXbfH5Yz5yUnRa021V2MDC4TzddIJIGdFOssIyW04Pds_s7QFd7SxSkFf_ma_2vp5furkWA4CJJ7Ec8Sql_d5kg5J92UASISyVIRHQdD9FiOOA5f91g4ma3J4_10OT9POKsL4ew/s1600-h/persegi-ajaib.JPG"><img style="float:right; margin:0 0 10px 10px;cursor:pointer; cursor:hand;width: 250px; height: 248px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhG1v1zXbfH5Yz5yUnRa021V2MDC4TzddIJIGdFOssIyW04Pds_s7QFd7SxSkFf_ma_2vp5furkWA4CJJ7Ec8Sql_d5kg5J92UASISyVIRHQdD9FiOOA5f91g4ma3J4_10OT9POKsL4ew/s320/persegi-ajaib.JPG" border="0" alt=""id="BLOGGER_PHOTO_ID_5442837346641237538" /></a><br />Perhatikan gambar persegi yang berukuran 4 x 4 di samping ini !<br /><br />Jika setiap baris, kolom dan diagonal pada persegi di atas harus diisi oleh semua angka 1, 2, 3 dan 4 maka nilai K + N adalah ….<br /><br />A. 3<br />B. 4<br />C. 5<br />E. 6<br /><br />Silahkan Jawab??Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8065745243683274219.post-49243197881031818492010-02-26T02:49:00.001-08:002010-02-26T02:53:42.357-08:00Matematika SMP Himpunan
<br />Himpuan adalah kumpulan benda atau obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas (tepat). Himpunan dapat ditunjukkan dengan menggunakan gambar himpunan yang disebut Diagram Venn.
<br />Operasi pada himpunan yaitu :
<br />1. Irisan pada himpunan A ke B adalah sebuah himpunan yang anggota-angotanya merupakan anggota dari A dan B.
<br />Irisan himpunan A dan himpunan B ditulis dengan notasi : "A ∩ B" dan dengan notasi pembentuk himpunan didefinisikan sebagai:
<br />A ∩ B = (x| x A dan x B)
<br />Contoh 1:
<br />Jika A= (0, 2, 4, 6, 8) dan B = (0, 4, 8, 10, 12) maka :
<br />A ∩ B = (0, 4, 8), anggota A dan anggota B adalah (0, 4, 8)
<br />Diagram Venn A n B sebagai berikut :
<br />
<br />
<br />2. Gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya
<br />Menjadi anggota A saja atau anggota B saja atau aggota kedua-duanya.
<br />Gabungan A dan B ditulis dengan notasi “A B ", dan dengan notasi pembentuk himpunan didefinisikan dengan : A B = {x| x A dan x B}
<br />
<br />Contoh 2:
<br />Jika A = (1, 2, 3, 4) dan B = (3, 4, 6, 7, 9), Maka : A u B = (1, 2, 3, 4, 6, 7, 9)
<br />Diagram Venn dari A u B adalah ...
<br />
<br />Latihan dan pembahasan soal
<br />1. Dalam suatu kelas tercatat 28 anak gemar Matematika, 22 gemar IPA, dan 10 anak gemar kedua-duanya. Banyak siswa dalam kelas tersebut adalah ...
<br />a. 30 orang c. 50 orang
<br />b. 40 orang d. 60 orang
<br />Pembahasan:
<br />Misal yang gemar Matematika adalah x dan gemar IPA adalah y maka
<br />n(x y) = n(x) + n(y) – n(x ∩ y)
<br />= 28+22-10
<br />= 40
<br />2. Jadi banyak siswa dari kelas tersebut adalah 40 orang. Kunci B
<br />Dari 25 siswa, 10 orang gemar melukis, 17 orang gemar mengarang, dan 6 orang tidak gemar kedua-duanya.
<br />Jumlah siswa yang gemar kedua-duanya adalah ...
<br />a. 6 orang
<br />b. 7 orang
<br />c. 8 orang
<br />d. 9 orang
<br />
<br />Pembahasan:
<br />Misal yang gemar kedua-duanya adalah x, maka bentuk persamaannya adalah
<br />(10 - x) + x + (17 - x) + 6 =25
<br /> 33-x =25
<br /> 33-25 =x
<br /> x =8
<br />Jadi yang gemar kedua-duanya adalah 8 orang. Kunci C
<br />SOAL
<br />1. Diketahui :
<br />S = {bilangan cacah kurang dari 8}
<br />A= {bilangan cacah genap kurang dari 8}
<br />B= {empat bilangan asli yang pertama}
<br />Diagram venn yang menyatakan himpunan-himpunan tersebut adalah …
<br />a.
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />2. Jika B={bilangan prima kurang dari 13}maka n{B}= …
<br />
<br />a. 4
<br />b. 5
<br />c. 6
<br />d. 7
<br />
<br />3. Jika P={bilangan prima yang kurang dari 20}. Q={bilangan kelipatan 3 yang kurang dari 20. maka irisan P dan Q adalah …
<br />
<br />a. {3}
<br />b. {3,15}
<br />c. {1,3,15}
<br />d. {1,3,9,15}
<br />
<br />4. Dari 46 siswa, terdapat 28 siswa gemar bermain bulu tangkis, 26 siswa gemar bermain sepakbola dan ada 6 anak yang tidak gemar bermain bulutangkis maupun sepakbola. Banyaknya siswa yang gemar bermain bulutangkis dan juga gemar bermain sepakbola ada …
<br />
<br />a. 12 siswa
<br />b. 14 siswa
<br />c. 16 siswa
<br />d. 18 siswa
<br />
<br />5. Ditentukan P={47, 53, 59, 61, 67}. Himpunan P dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan …
<br />a. {x| 45<x 70, xbilangan asli}
<br />b. {x| 45<x 70, xbilangan cacah}
<br />c. {x| 45<x 70, xbilangan prima}
<br />d. {x| 5<x 70, xbilangan ganjil}
<br />6. Suatu regu pramuka jumlah anggotanya 18 orang. Pada suatu latihan 11 orang membawa tongkat, 8 orang membawa tambang dan 5 orang tidak membawa kedua alat tersebut. Jumlah anggota yang membawa kedua alat itu sekaligus adalah…
<br />
<br />a. 1 orang
<br />b. 6 orang
<br />c. 13 orang
<br />d. 14 orang
<br />
<br />7. Suatu kelompok terdapat 15 orang yang hobi berenang, 20 orang hobi aerobic, 8 orang hobi berenang dan aerobic. Apabila jumlah anggota kelompok tersebut 55 orang, maka yang tidak hobi aerobic maupun berenang sebanyak …
<br />
<br />a. 28 orang
<br />b. 17 orang
<br />c. 12 orang
<br />d. 3 orang
<br />
<br />8. Diketahui :
<br />A = {bilangan prima<10}
<br />B = {huruf vocal}
<br />C = {bilangan asli ganjil <10}
<br />Dari himpunan diatas yang merupakan himpunan ekuivalen adalah …
<br />
<br />a. A dan B
<br />b. B dan C
<br />c. C dan D
<br />d. A dan C
<br />
<br />
<br />Bilangan Bulat
<br />Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, nol dan bilangan bulat negatif.
<br />Menentukan letak bilangan bulat dalam garis bilangan dapat dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut
<br />
<br /> … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 …
<br />Bilangan bulat negative Bilangan bulat positif
<br />
<br />Secara umum : Jika a terletak di sebelah kanan b, maka a > b
<br />Jika a terletak di sebelah kiri b, maka a < b
<br />Contoh 3
<br />1. Pada Siang hari suhu udara di dalam ruangan 260 C, jika suhu udara di dalam lemari es 300 C lebih rendah dari suhu di dalam ruangan.
<br />Berapakah suhu udara di dalam lemari es?
<br />Jawab :
<br />Suhu udara di dalam Almari Es = 260 C - 300C = -4°
<br />
<br />Bilangan pecahan biasa dan desimal serta persen
<br />Pecahan diartikan sebagai hasil bagi dua buah bilangan cacah.
<br />Bentuk umum pecahan a/b dengan b 0, a disebut pembilang dan b disebut penyebut
<br />Pecahan senilai dapat diperoleh dengan cara mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama dan bukan nol
<br />Pecahan a/b dengan b 0, maka disederhanakan dengan cara pembilang dan penyebutnya dibagi dengan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b
<br />Hubungan dua pecahan :
<br />Jika a > b maka a/b > b/c dengan c > 0
<br />Jika a < b maka a/b < b/c dengan c > 0
<br />Membandingkan dua pecahan dapat dilkukan dengan menyamakan penyebutnya dengan KPK-nya
<br />Pecahan biasa dapat dinyatakan kepecahan desimal.
<br />Dalam suatu sistem desimal, jika a, b, c, d, e, f, g maka
<br />
<br />a b c d e f g
<br />
<br />ribuan perseribu
<br />ratusan perseratus
<br />puluhan persepuluh
<br />satuan Contoh :
<br />7/20 =7x5/20x5 = 35/100 = 0,35
<br />Mengubah pecahan biasa kepersen:
<br />Persen artinya perseratus (%)
<br />Misal : a/b = a/b x 100%
<br />Contoh :4/5 = 4/5 X 100% = 400/5% = 80%
<br />SOAL
<br />1. Hasil dari 5 + 8 - 6 adalah
<br />
<br />a. 1
<br />b. 7
<br />c. 14
<br />d. 20
<br />
<br />
<br />2. Dalam suatu permainan bila menang diberi nilai 3 tetapi bila kalah diberi nilai -2 dan bila seri diberi nilai -1. Suatu regu telah bermain sebanyak 47 kali, 21 kali menang dan 3 kali seri . nilai yang diperoleh regu itu adalah …
<br />
<br />a. – 23
<br />b. -7
<br />c. -14
<br />d. 60
<br />
<br />3. Harga satu lusin buku Rp. 18.000. jika Anton membeli 3 buku dengan membayar uang satu lembar lima ribuan, maka uang kembali yang diterima Anton adalah …
<br />
<br />a. Rp. 500
<br />b. Rp. 1.500
<br />c. Rp. 3.000
<br />d. Rp. 4.500
<br />
<br />
<br />4. Hasil dari 16,32 – 8,876 adalah …
<br />
<br />a. 6,444
<br />b. 6,456
<br />c. 6,634
<br />d. 6,654
<br />
<br />
<br />5. Hasil dari 4 + 5 - 2 adalah
<br />
<br />a. 7
<br />b. 8
<br />c. 11
<br />d. 12
<br />
<br />6. Dalam sebuah tes dibuat aturan penilaian sebagai berikut :
<br />Setiap butir soal yang dijawab benar diberi skor 2 dan yang dijawab salah diberi skor -1. sedangkan yang tidak dijawab diberi skor 0 (nol). Seorang peserta menjawab 57 butir soal dan yang benar 45, jika banyak butir soal 75, skor yang diperoleh peserta tersebut adalah …
<br />
<br />a. 90
<br />b. 78
<br />c. 66
<br />d. 60
<br />
<br />7. Dari ramalan cuaca kota-kota besar didunia tercatat suhu tertinggi dan terendah adalah sebagai berikut :
<br />Moskow terendah -50C tertinggi 180C
<br />Mexico terendah 170C tertinggi 340C
<br />Paris terendah -30C tertinggi 170C
<br />Tokyo terendah -20C tertinggi 250C
<br />Perubahan suhu terendah terjadi di kota …
<br />
<br />a. Moskow
<br />b. Mexico
<br />c. Paris
<br />d. Tokyo
<br />
<br />8. Hasil dari 2 + 1 x adalah
<br />
<br />a. 4
<br />b. 6
<br />c. 8
<br />d. 10
<br />
<br />9. Ibu membeli 40Kg gula pasir gula itu akan dijual eceran dengan dibungkus plastic masing-masing beratnya Kg. Banyaknya kantong plastic berisi gula yang dihasilkan adalah …
<br />
<br />a. 10 Kantong
<br />b. 80 kantong
<br />c. 120 kantong
<br />d. 160 kantong
<br />
<br />10. Seorang pedagang membeli 24Kg gula, gula tersebut akan dimasukkan kedalam kantong yang masing-masing berisi Kg. Berapa buah kantong yang diperlukan untuk membungkus seluruh gula tersebut ?
<br />
<br />a. 6 buah
<br />b. 20 buah
<br />c. 28 buah
<br />d. 96 buah
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />Operasi pada bilangan bulat dan pecahan
<br />A. Aritmetika Sosial
<br />Dalam kegiatan jual beli dalam satu jenis barang, kita sering mendengar adanya istilah harga penjualan, harga pembelian, untung, rugi, prosentase untung, prosentasi rugi, diskon atau rabat, bruto, tara, dan neto.
<br />1. Untung Jika harga penjualan > harga pembelian
<br />Untung = Harga penjualan - harga pembelian
<br />2. Rugi, jika harga penjualan < harga pembelian
<br />Rugi = harga pembelian – harga penjualan
<br />3. Prosentase untung atau rugi adalah besarnya untung atau rugi yang dinyatakan dalam bentuk persen (%)
<br /> besar untung atau rugi
<br />Persentase untung atau rugi = x 100%
<br /> Harga pembelian
<br />4. Diskon atau rabat adalah potongan harga
<br />5. Bruto adalah berat kotor
<br />6. Tara adalah potongan berat
<br />7. Neto adalah berat bersih, Neto = Bruto – Tarra
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />1. Seorang pedagang membeli beras 2 karung masing-masing beratnya 1 kwintal dengan tara 21/2%. Harga pembelian beras setiap karung Rp. 200.000,00. Jika beras itu dijual dengan harga Rp. 2.400,00 tiap kilogram, besar keuntungannya adalah ...
<br />
<br />a. Rp. 34.000,00
<br />b. Rp. 56.000,00
<br />c. Rp. 68.000,00
<br />d. Rp. 80.000,00
<br />
<br />Pembahasan :
<br />Banyak beras yang dibeli = 2 x 1 Kw = 2 x 100 kg = 200 kg Harga pembelian = 2 x Rp. 200.000,00 = Rp. 400.000,00 Tara 2 % = 2,5/100 x 200 kg = 5 kg
<br />Neto = 200 kg – 5 kg = 195 kg
<br />Harga penjualan = 195 x Rp. 2.400,00 Rp. 468.000,00 Karena harga penjualan > harga pembelian, maka untung Jadi, besar keuntungannya adalah
<br />= Rp. 468.000,00 – Rp. 400.000,00
<br />= Rp. 68.000,00
<br />Kunci C
<br />
<br />
<br />SOAL
<br />1. Sebuah sekolah membeli buku matematika sebanyak 120 buah dengan harga Rp. 4.250 perbuah dengan rabat 20%. Berapa rupiah uang yang harus dibayar sekolah tersebut?
<br />
<br />a. Rp. 621.000
<br />b. Rp. 612.000
<br />c. Rp. 480.000
<br />d. Rp. 408.000
<br />
<br />2. Toko SENANG membeli 5 karung beras dengan harga Rp. 1.325.000 dan beras tersebut dijual lagi dengan harga Rp. 2.900 per Kg. Jika disetiap karung bertulis Bruto 100Kg dan tara 2 Kg, maka keuntungan yang diperoleh dari penjualan beras adalah …
<br />
<br />a. Rp.87.000
<br />b. Rp. 96.000
<br />c. Rp. 132.000
<br />d. Rp. 142.000
<br />
<br />3. Dengan harga penjualan Rp. 2.200.000 seorang pedagang kamera telah memperoleh untung 10%. Harga pembelian kamera tersebut adalah …
<br />
<br />a. Rp. 220.000
<br />b. Rp. 1.980.000
<br />c. Rp. 2.000.000
<br />d. Rp. 2.420.000
<br />
<br />4. Seorang pedagang membeli 2 karung beras masing-masing beratnya 1 kwintal dengan tara 2 %. Harga pembelian setiap karung beras Rp. 200.000. Jika beras itu dijual dengan harga Rp. 2.400 per Kg, maka besar keuntungannya adalah …
<br />
<br />a. Rp. 34.000
<br />b. Rp. 56.000
<br />c. Rp. 68.000
<br />d. Rp. 80.000
<br />
<br />5. Andi membeli 10 pasang sepatu seharga Rp. 400.000 kemudian dijual secara eceran. Sebanyak 7 pasang sepatudengan harga Rp.50.000 perpasang. 2 pasang dijual Rp. 40.000 perpasang dan sisanya disumbangkan. Persentase keuntungan yang diperoleh Andi adalah …
<br />
<br />a. 7 %
<br />b. 15%
<br />c. 22 %
<br />d. 30%
<br />
<br />6. Seorang pedagang menjual sepeda dengan harga Rp. 210.000. Dari hasil penjualan itu dia memperoleh untung 20%. Harga pembelian sepeda itu adalah …
<br />
<br />a. Rp. 42.000
<br />b. Rp. 175.000
<br />c. Rp. 168.000
<br />d. Rp. 252.000
<br />
<br />7. Harga satu lusin buku Rp. 18.000.Jika Anton membeli 3 buku dengan membayar uang satu lembar lima ribuan, maka uang kembali yang diterima Anton adalah …
<br />
<br />a. Rp. 500
<br />b. Rp. 3.000
<br />c. Rp. 1.500
<br />d. Rp. 4.500
<br />
<br />
<br />
<br />Perbandingan
<br />Perbandingan diantara dua besaran dapat disederhanakan jika kedua besaran tersebut satuannya sejenis. Contoh
<br />1. 2,4 m : 18 dm dapat disederhakan menjadi 24 dm : 18 dm = 4: 3
<br />2. 3 tahun :2 semester dapat disederhanakan menjadi : 36 bulan : 12 bulan = 3 : 1
<br />3. 6 jam : 9 kg tidak dapat disederhanakan
<br />Dalam perbandingan terdapat istilah senilai dan perbandingan berbalik nilai.
<br />Contoh perbandingan senilai
<br />1. Dengan 4 liter bensin sebuah mobil dapat menempuh jarak 32 km. Jika jarak yang akan ditempuh 56 km, berapa liter bensin yang diperlukan?
<br />Soal tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut:
<br />Banyakya Bensin Jarak tempuh
<br />4 liter 32 km
<br />? 56 km Maka 56/32 x 4 liter = 7 liter
<br />Contoh perbandingan berbalik nilai
<br />2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan selama 32 hari dengan 25 orang pekerja. Agar pekerjaan tersebut dapat diselesai dalam 20 hari, berapakah banyak pekerja yang diperlukan?
<br />Soal tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut:
<br />Banyak pekerja Lamanya
<br />25 orang 32 hari
<br />? 20 hari
<br />Maka 32/20 x 25 orang = 40 orang
<br />
<br />Pada kedua contoh di atas dapat dilihat bahwa perbandingan
<br /> Senilai, yang dinyatakan (56 km) sebagai pembilang
<br /> Sedangkan yang diketahui (32 km) sebagai penyebut
<br /> Berbalik nilai, yang dinyatakan (20 hari) sebagai penyebut
<br /> Sedangkan yang diketahui (32 hari) sebagai pembilang
<br />Latihan dan pembahasan
<br />1. Harga 18 baju Rp.54.000,00. Harga 21/2 lusin baju tersebut adalah...
<br />a. Rp. 1,000.000,00
<br />b. Rp. 900.000,00
<br />c. Rp. 800.000,00
<br />d. Rp. 750.000,00 Pembahasan
<br />21/2 lusin baju = 21/2 x 12 buah = 30 buah
<br />Maka 30/18 x Rp. 540.000,00 = Rp. 900.000,00
<br />Kunci B
<br />2. Waktu, Jarak, dan Kecepatan
<br />Hubungan antara waktu (t), jarak (d) dan kecepatan (v) dinyatakan dalam rumus Waktu (t) =
<br />Jarak (d) = v x t
<br />Kecepatan (v) =
<br />Contoh :
<br />1. Sebuah Bus berangkat dari Jakarta menuju Bandung dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Jarak Bandung – Jakarta 180 km. Berapakah lama perjalanan Bus itu
<br />Pembahasan :
<br />Diketahui d = 180 km, dan v = 60 km/jam.
<br />Maka : t = d/v
<br />= 180/60= 3 jam
<br />Jadi lama perjalanan Bus adalah 3 jam
<br />2. Adi mengendarai sepeda motor dengan kecepatan rata-rata 50 km/jam. Berapa jarak yang ditempuh, jika lama perjalanan 1 jam 12 menit?
<br />Pembahasan
<br />Diketahui v = 50 km/jam, dan t = 1 jam 12 menit = 11/5 jam
<br />Maka jarak (d) = v x t
<br />= 50 x 11/5
<br />= 50 x 6/5
<br />= 60
<br />Jadi jarak yang ditempuh motor adalah 60 km
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />1. Hafid naik mobil berangkat pukul 07.00 dari kota A ke kota B dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Rois naik motor berangkat pukul 07.00 dari kota B ke kota A dengan kecepatan rata-rata 40 km/jam. Jika jarak kota A dan B adalah 350 km, Hafid dan Rois akan bertemu pada pukul ...
<br />a. 09.50 c. 10.50
<br />b. 10.30 d. 11.15
<br />Pembahasan:
<br />Diketahui d = 350 km, dan v1 = 60 km/jam, v2 = 40 km/jam.
<br />Maka t =
<br />=
<br />= 31/2 jam
<br />Berangkat pk. 07.00 + 31/2 jam = pk. 10.30 Jadi, Hafid dan Rois bertemu pads pukul 10.30
<br />Kunci B
<br />
<br />
<br />SOAL
<br />1. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 9 orang selama 16 hari. Jika pekerjaan tersebut harus selesai dalam 12 hari maka banyak pekerja adalah …
<br />
<br />a. 12 orang
<br />b. 16 orang
<br />c. 18 orang
<br />d. 24 orang
<br />
<br />2. Untuk membuat 3 buah kue ulang tahun diperlukan gula 4Kg. Jika akan membuat kue ulang tahun 15 buah, maka gula yang diperlukan adalah …
<br />
<br />a. 12 Kg
<br />b. 15 Kg
<br />c. 16 Kg
<br />d. 20 Kg
<br />
<br />3. Untuk menjahit satu karung diperlukan benang sepanjang 5 m, maka untuk menjahit 120 karung karung diperlukan benang sepanjang …
<br />
<br />a. 60 m
<br />b. 120 m
<br />c. 600 m
<br />d. 620 m
<br />
<br />4. Ali membeli 12 baju dengan pesanan harga Rp. 336.000. Bila Budi akan membeli 18 baju dengan baju yang dibeli Ali, maka Budi harus membayar sebesar …
<br />
<br />a. Rp. 186.000
<br />b. Rp. 492.000
<br />c. Rp. 504.000
<br />d. Rp. 528.000
<br />
<br />5. Untuk mencetak genteng pesanan, sebuah perusahaan memerlukan pekerja sebanyak 30 orang dalam 18 hari. Bila pekerja yang bersedia hanya 27 orang. Berapa harikah pesanan genteng akan selesai?
<br />
<br />a. 26 hari
<br />b. 23 hari
<br />c. 20 hari
<br />d. 27 hari
<br />
<br />6. Sebuah mobil setelah menempuh jarak 105 Km menghabiskan bensin sebanyak 7,5 liter. Jika yang akan ditempuh 224 km, bensin yang diperlukan adalah …
<br />
<br />a. 16 liter
<br />b. 16,2 liter
<br />c. 16,5 liter
<br />d. 16,8 liter
<br />
<br />7. Hafid naik mobil berangkat pukul 07.00 dari kota A ke kota B dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Rois naik motor yang berangkat pukul 07.00 dari kota B ke kota A dengan kecepatan raata-rata 40 km/jam. Jika jarak kota A dan kota B samadengan 350 Km, maka Hafid dan Rois akan bertemu pada pukul …
<br />
<br />a. 09.50
<br />b. 10.30
<br />c. 10.50
<br />d. 11.15
<br />
<br />
<br />
<br />Pola Bilangan dan Barisan Bilangan
<br />a. Pola Bilangan
<br />Beberapa pola bilangan antara lain:
<br />1. Pola bilangan ganjil dan genap
<br />2. Pola bilangan segitiga Pascal
<br />3. Pola bilangan persegi
<br />4. Pola bilangan segitiga
<br />5. Pola bilangan persegi panjang
<br />b. Barisan Bilangan
<br />Dalam barisan bilangan, biasanya diminta untuk menentukan
<br />1. Suku berikutnya dari barisan bilangan
<br />2. Aturan dari suatu barisan bilangan
<br />3. Rumus dari suku ke-n dari suatu barisan bilangan
<br />Contoh :
<br />1. Pada barisan bilangan 1, 5, 9, 13. 17 ... Tentukanlah :
<br />1. tiga suku berikutnya
<br />2, aturan yang berlaku
<br />3. rumus suku ke-n
<br />Pembahasan :
<br />1. Tiga suku berikutnya adalah 21, 25, 29
<br />2. Aturan yang berlaku adalah suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan 4 pada suku sebelumnya.
<br />3. Rumus suku ke-n adalah 4n – 3
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />1. Rumus suku ke-n dari barisan bilangan 2, 5, 8, 11, 14, 17 ... adalah ...
<br />a. 3n-1 c.2n+1
<br />b. 3(n –1) d. 2(n'+ 1)
<br />Pembahasan:
<br />Barisan bilangan 2, 5, 8, 11, 14, 17, .., membentuk barisan aritmetika dengan beda b = 3 dan suku pertamanya a = 2. sehingga rumus suku ke-n adalah
<br />Un = a + (n – 1) x b
<br />= 2 + (n – 1) x 3
<br />=2+3n-3
<br />=3n-1
<br />Kunci A
<br />
<br />
<br />SOAL
<br />1. Pada susunan bilangan-bilangan segitiga pascal, jumlah bilangan yang terdapat pada baris ke-10 adalah …
<br />
<br />a. 128
<br />b. 256
<br />c. 512
<br />d. 1.024
<br />
<br />2. Diketahui barisn bilangan 3, 4, 7, 12, 19, …
<br />Pola dari urutan bilangan diatas bila dinyatakan dengan kata-kata adalah …
<br />
<br />a. Tambahkan bilangan n + 1
<br />b. Tambahkan bilangan prima
<br />c. Tambahkan bilangan n – 2
<br />d. Tambahkan bilangan ganjil
<br />
<br />3. Pada ruang pertunjukan, baris paling depan tersedia 20 kursi. Baris belakangnya tersedia 2 kursi lebih banyak dari baris depannya. Jika pada ruang pertunjukan itu tersedia 20 baris kursi, maka banyaknya orang yang dapat duduk dikursi pada ruang pertunjukan tersebut adalah …
<br />
<br />a. 400 orang
<br />b. 440 orang
<br />c. 680 orang
<br />d. 780 orang
<br />
<br />4. Suku ke-n dari barisan 2, 6, 12, 20, 30, …
<br />
<br />a. n2 + 1
<br />b. 4n – 2
<br />c. n2 + n
<br />d. 3n - 1
<br />
<br />5. Diketahui ( x + y )6 = x6 + px5y + qx4y2 + rx3y3 + sx2y4 + h6 nilai dari 3p + 2q adalah …
<br />
<br />a. 21
<br />b. 48
<br />c. 57
<br />d. 63
<br />
<br />
<br />6.
<br />Perhatikan banyaknya daerah yang terbentuk oleh tali busur pada pola diatas! Banyak daerah yang terjadi bila dibuat n tali busur adalah
<br />
<br />a. n – 1
<br />b. n + 1
<br />c. 2n – 1
<br />d. 2n + 1
<br />
<br />7. Suku ke-15 dari barisan 1, 3, 6, 10 … adalah …
<br />
<br />a. 90
<br />b. 105
<br />c. 120
<br />d. 135
<br />
<br />8. Setiap hari Andi menabung sebesar Rp. 500 jika hari ini tabungan Andi Rp. 12.500 besar tabungan Andi yang akan dating adalah …
<br />
<br />a. Rp. 19.000
<br />b. Rp. 18.000
<br />c. Rp. 13.000
<br />d. Rp. 6.500
<br />
<br />9. Rumus suku ke-n dari barisan bilangan , , …
<br />
<br />a.
<br />b.
<br />c.
<br />d.
<br />
<br />
<br />
<br />Persamaan Linear, dan sistem Persamaan Linear dengan dua Variabel.
<br />Adalah persamaan yang mempunyai dua peubah dengan pangkat tertinggi peubahnya 1 (satu)
<br />Contoh :
<br />2x + 5y = 14, adalah persamaan linear dengan dua peubah. Karena mempunyai dua peubah, yaitu x dan y, sedangkan pangkat tertinggi dari x dan y adalah 1 (satu).
<br />Apabila pada suatu soal terdapat dua persamaan linear dengan masing-masing persamaan mempunyai dua peubah, maka disebut sistem persamaan linear dengan dua peubah. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua peubah, dapat dilakukan dengan cara
<br />1. Eliminasi
<br />2. Substitusi
<br />3. Gabungan Eliminasi dan Substitusi
<br />4. Grafik
<br />Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari
<br />2x-5y= 3
<br />x +3y=7
<br />jawab :1. Dengan cara Eliminasi
<br />(i) mengeliminir x : 2x – 5y = 3 |x1 | 2x – 5y =3
<br />x -3, |x2 | 2x +6y = 14
<br /> -11y = -11
<br />y = 1
<br />(ii) mengeliminir y : 2x – 5y = 3 |x 3 | 6x – 15y = 9
<br /> x -3y=7 |x5 | 5x + 15Y =35 +
<br /> 11x = 44
<br />X = 4
<br />Jadi, himpunan penyelesaiannya = (4,1 )
<br />Jawab : 2. Dengan cara SubstitusiEliminasi
<br />2x-5y=3 i
<br />x+3y=7(ii)
<br />ii............. x + 3y = 7
<br />x = 7-3y iii
<br />persamaan (iii) disubstitusikan ke persamaan (i), maka
<br />i) ...... 2x-5y=3
<br /> 2 (7 – 3y) – 5y = 3 .... Karena x = 7 – 3y
<br /> 14-6y-5y = 3
<br /> -11y = 3-14
<br /> -11y = -11
<br /> y =1
<br />selanjutnya nilai y = 1 disubstitusikan ke persamaan (iii), maka
<br />x =7-3y
<br />x=7–(3x1)
<br />x =7-3
<br />x =4
<br />Jadi, himpunan penyelesaiannya = {4 , 1}
<br />
<br />3. Dengan cara Grafik.
<br />Untuk persamaan (i) : 2x – 5y = 3
<br />x 0 1,5
<br />y -0,6 0
<br />
<br />Untuk persamaan (ii) : x + 3y = 7
<br />x 0 7
<br />y 2,3 0
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />Persamaan garis (i) melalui titik (0 , -0,6) dan (1,5 , 0), sedangkan persamaan garis (ii) melalui titik (0, 2,3) dan (7,0). Grafiknya adalah :
<br />Y
<br />x+3y = 7
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />X
<br />
<br />
<br />
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />1. Diketahui system persamaan : 3x + 2y = 8
<br /> X – 5y = -37
<br /> Nilai 6x + 4y adalah …
<br />a. -30
<br />b. -16
<br />c. 16
<br />d. 30
<br />2. Harga 8 buah buku tulis dan 6 buah pensil Rp. 14.400,00. harga 6 buah buku tulis dan 5 buah pensil Rp. 11.200,00. jumlah harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil adalah .......
<br />a. Rp. 13.600,00
<br />b. Rp. 12.400,00
<br />c. Rp. 12.800,00
<br />d. Rp. 11.800,00 Pembahasan
<br />1. Dengan cars gabungan eliminasi dan substitusi
<br />3x+2y = 8 |x1| 3x + 2y = 8
<br />x - 5y =-37 |x3| 3x -15V = -111
<br /> 17y = 119
<br /> y = 7
<br />x - 5y = -37
<br />x - ( 5 x 7 ) =-37
<br />x - 35 = -37
<br />x = -2
<br />Nilai6x+4y =(6x-2)+(4x7)
<br /> = -12+28
<br /> = 16
<br />Jadi, nilai 6x + 4y = 16
<br />Kunci : c
<br />2. Misal buku tulis adalah p, dan pensil adalah q
<br />Maka 8p + 6q = 14.400 dan 6p + 5q = 11.200
<br />8p+6q = 14.400 |x6| 48 + 36 q =86.400
<br />6p + 5q =11.200 |x3| 48 +40q = 89.600
<br /> -4q = -3.200
<br /> q = 800
<br /> 6p + 5q =11.200
<br /> p + (5x800) =11.200
<br /> 6p + 4.000 =11.200
<br /> 6p = 7.200
<br /> P = 1.200
<br />Harga 1 buku tulis Rp. 1.200,00 dan 1 pensil Rp. 800,00
<br />Harga 5 buku tulis dan 8 pensil = (5 x 1.200) + ( 8 x 800 )
<br />= 6.000 + 6.400 = 12.400
<br />Jadi, harga 5 buku tulis dan 8 pensil adalah Rp. 12.400,00
<br />Kunci : C
<br />SOAL
<br />1. Harga 3 buku tulis dan 2 buku gambar Rp. 11.500 sedangkan harga 2 buku tulis dan 5 buku gambar Rp. 15.000. Berapakah harga 5 buku tulis dan 10 buku gambar ?
<br />
<br />a. Rp.27.500
<br />b. Rp. 32.500
<br />c. Rp.35.000
<br />d. Rp.45.000
<br />
<br />2. Jika 4x + 4y = -10 dan 4x – 5y = -34, maka nilai dari 8x + 3y adalah
<br />
<br />a. -54
<br />b. -42
<br />c. 42
<br />d. 54
<br />
<br />3. Harga 8 buku tulis dan 6 buah pensil Rp. 14.000. Harga 6 buah buku tulis 5 buah pensil Rp. 11.200. Jumlah harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil adalah ….
<br />
<br />a. Rp. 13.600
<br />b. Rp. 12.800
<br />c. Rp. 12.400
<br />d. Rp. 11.800
<br />
<br />4. Diketahui system persamaan 3x+3y=3 dan 2x-4y=14. Nilai dari 4x-3y =…
<br />
<br />a. -16
<br />b. -12
<br />c. 16
<br />d. 18
<br />
<br />5. Harga 2 baju dan 1 kaos Rp. 170.000 Sedangkan Harga 1 baju dan 3 kaos Rp. 185.000. Harga 3 baju dan 2 kaos adalah …
<br />
<br />a. Rp. 275.000
<br />b. Rp. 285.000
<br />c. 305.000
<br />d. 320.000
<br />
<br />6. Penyelesaian system persamaan dari 5x+2y=6 dan 4x+3y=-2 adalah x dan y. Hasil kali x dan y adalah …
<br />
<br />a. -4
<br />b. -2
<br />c. 2
<br />d. 4
<br />
<br />7. Ditoko alat tulis, tuti membeli 2 pensil dan 3 buku tulis seharga Rp. 15.500. Ditoko yang sama Lina membeli 4 pensil dan 1 buku tulis seharga Rp. 13.500. Bila Putri membeli 1 pensil dan 2 buku tulis di toko tersebut, Putri harus membayar sebesar …
<br />
<br />a. Rp. 6.000
<br />b. Rp. 7.000
<br />c. Rp. 8.500
<br />d. Rp. 9.500
<br />
<br />8. Diketahui persamaan 2x+5y=19 dan 11x+5y=37, nilai dari 5x+7y=…
<br />
<br />a. 31
<br />b. 16
<br />c. 18
<br />d. 34
<br />
<br />9. Dua bilangan cacah berbeda 6 dan hasil kalinya 216, bilangan terbesar dari kedua bilangan tersebut adalah …
<br />
<br />a. 12
<br />b. 16
<br />c. 18
<br />d. 30
<br />
<br />10. Ada dua bilangan. Bilangan yang besar ditambah 4 kali bilangan kecil =99. bilangan kecil ditambah 3 kali bilangan besar =110. tiga kali yang kecil ditambah 4 kali bilangan yang besar nilainya adalah …
<br />
<br />a. 161
<br />b. 175
<br />c. 192
<br />d. 206
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />Bilangan dengan pangkat tak sebenarnya
<br />Sifat-sifat dari bilangan berpangkat
<br />1. an artinya a x a x a x a ... a sebanyak n buah
<br />2. aP x aq =a p+q, dengan a 0
<br />3. aP : aq = aP-q , dengan a 0
<br />4. a°=1
<br />5. a -P =1/aP, dengan a 0 Contoh :
<br />1. Arti dari 53 adalah 5 x 5 x 5
<br />2. 42x43 =4(2+3)
<br />= 45
<br />=4x4x4x4x4
<br />= 1024
<br />3. 36:34 = 3(6-4)
<br /> = 32
<br /> =3x3
<br /> = 9
<br />4. 160 = 1
<br />5. 5-2 =
<br /> =
<br />Logaritma
<br />Logaritma adalah invers dari perpangkatan.
<br />Sifat-sifat logaritma:
<br />
<br />plog (a x b) = p log a + plog b
<br />Plog (a : b) = P log a - Plog b
<br />Plog an = n..Plog a
<br />Plog n√ a = P log a : n
<br />
<br />Contoh
<br />Hitunglah bentuk logaritma berikut
<br />1. 5log (25 x 5) = 5log 25 + 5log 5
<br />= 5log 52 + 5log 51
<br />= 2.51og 5 + 1.5log 5
<br />=2+1
<br />=3
<br />2. 2log (32 : 4) = 2log 32 + 2log 4
<br />= 2log 25 + 2log 22
<br />= 5.2log 2 + 2.2log 2
<br />=5-2
<br />= 3
<br />3. 2log 3√ 8 = 2log 23 : 3
<br />= 3. 2log 2 : 3
<br />= 3:3
<br />= 1
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />1. Bila log 3 = 0,477, maka nilai log 81
<br />
<br />a. 1,908
<br />b. 1,978
<br />c. 2,978
<br />d. 3,978
<br />
<br />Pembahasan:
<br />81 = 34
<br />log 81 = log 34 = 4 log 3
<br /> = 4 x 0,477
<br /> =1, 908 Kunci A
<br />
<br />2. Hasil 2log 1024 – Slog 729
<br />
<br />a. 2
<br />b. 3
<br />c. 4
<br />d. 5
<br />
<br />Pembahasan :
<br />Hasil 2log 1024 – 3 log 729 = 2 log 210 – 3log 36
<br />= 10.2log 2 – 6. 3log 3
<br />=10-6
<br />= 4
<br />
<br /> Gradien dan persamaan garis lurus.
<br />Rumus dari beberapa persamaan garis antara lain adalah
<br />1. y = mx, adalah persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik pusat 0.
<br />2. y = mx + c. adalah persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik (O,c)
<br />3. y - yi = m (x - xi), adalah persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik (xi , yi)
<br />4.
<br />Adalah persamaan garis yang melalui titik (x1 , y1) dan (x2, y2).
<br />pada dua garis yang :
<br />i. Saling sejajar, mempunyai gradien yang sama yaitu m1 = m2
<br />ii. Saling tegak lurus, hasil perkalian gradiennya adalah -1 yaitu : m1 xm2 =-1
<br />Contoh 1 :
<br />I. Tentukan persamaan garis dengan gradien 3 dan melalui titik
<br />a. Pusat 0
<br />b. (0,5)
<br />c. (2,7)
<br />II. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1,4) dan (2,9).
<br />Jawab.
<br />
<br />I. a. Persamaan garis dengan gradien (m) = 3 dan melalui 0 (0,0) adalah y = 3x
<br />b. Persamaan garis dengan gradien (m) = 3 dan melalui (0,5) adalah y = 3x + 5
<br />c. Persamaan garis dengan gradien (m) = 3 dan melalui (2,7) adalah
<br />y – y1 = m(x – x1)
<br />y -7 = 3(x – 2)
<br />y-7 =3x-6
<br />y =3x-6+7
<br />y =3x+1
<br />II. Persamaan garis melalui titik (1,4) dan (2,9) adalah
<br />
<br /> =
<br /> =
<br />1(y-4)=5(x-1)
<br />y – 4 = 5x – 5
<br />y =5x-5+4
<br />y =5x-1
<br />Jadi, persamaan garis yang melalui titik (1,4) dan (2,9) adalah y = 5x –1
<br />
<br />Pada persamaan garis terdapat istilah gradien. Gradien yang biasanya dilambangkan dengan huruf m adalah angka arah atau kemiringan dari suatu garis.
<br />Untuk menghitung gradien suatu garis, dapat dilakukan dengan cara
<br /> m = Jarak mendatar
<br />Jarak tegak
<br />
<br />Dengan jarak tegak adalah sumbu y, sedangkan jarak mendatar adalah sumbu x.
<br />Jadi, gradien (m) =
<br />Contoh 2:
<br />Tentukan persamaan garis yang melalui titik pusat dan titik A (2,6)
<br />Jawab :
<br />Jarak tegak titik A (sumbu y) adalah 6, sedangkan jarak mendatarnya (sumbu x) adalah 2.
<br />Maka, gradien (m) =
<br />m =
<br />m = 3
<br />Jadi, gradien garis yang melalui titik pusat dan titik A (2,6) adalah 3. Untuk menghitung gradien garis yang melalui titik P (x1, y1) dan Q (x2 , y2) dapat dilakukan dengan cara :
<br />m =
<br />m = =
<br />
<br />Contoh 3:
<br />Tentukan gradien garis yang melalui titik P (3,7) dan Q (-2,5).
<br />Jawab :
<br />P(3,7 ), maka x1 = 3 dan y1 = 7
<br />Q (-2,5 ) maka x2 = -2 dan y2 = 5
<br />Maka
<br />m = =
<br />Jadi gradien garis yang melalui titik P (3,7) dan Q (-2,5) adalah
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />1. Garis tegak lurus yang Persamaannya 2x +3y = 0. Gradien garis K adalah
<br />a. C.
<br />b. d.
<br />2. Garis 1 sejajar dengan garis yang melalui (7,-4) dan (-3,2). Diantara persamaan garis di bawah ini
<br />I. 3x-5y+20 =0
<br />II. x+2y+7=0
<br />III. 2x-3y-11 =0
<br />IV. 3x+5y-10 =0
<br />Yang merupakan garis garis 1 adalah
<br />a. I C. III
<br />b. II d. IV
<br />Pembahasan :
<br />1. 2x+3y+7 = 0
<br />3y = -2x – 7
<br />y = x gradiennya, yaitu m1 =
<br />
<br />Jadi, gradien garis k adalah m2 yaitu : m1 x m2 = -1
<br /> x m2 = -1
<br />m2 =
<br />Kunci ; D
<br />
<br />
<br />Trigonometri
<br />Pada trigonometri yang dipelajari di kelas III SMP terdapat 3 jenis perbandingan, yaitu sinus, cosinus, dan tangen. Ketiga jenis perbandingan tersebut dapat dipergunakan untuk menghitung tinggi atau jarak antara dua titik. Sinus, cosinus, tangen dapat ditulis sin, cos, tan
<br />Perhatikan segitiga berikut A
<br /> C b
<br />
<br /> B a C
<br />Dan gambar tersebut dapat dinyatakan bahwa :
<br />Sin CAB BC = AC sin CAB
<br />cos CAB AB = AC cos CAB
<br />tan CAB BC = AB tan CAB
<br />sin BCA AB = AC sin BCA AC b
<br />cos BCA BC = AC cos BCA
<br />tan BCA AB = BC tan BCA
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />Pada gambar di samping, ABCD merupakan persegi panjang. Jika AC = 10 cm dan √3 = 1,73,
<br />Maka luas ABCD adalah … C D
<br />a. 17,30 cm
<br />b. 21,25 cm
<br />c. 43,25 cm
<br />d. 86,50 cm A B
<br />Pembahasan : Pada segitiga ABC
<br />Panjang AB = AC sin ACB Panjang BC = AC cos ACB
<br /> AB = 10 sin 60° BC = 10 cos 60°
<br /> AB = 10 x √3 BC =10 x
<br /> AB = 10 x 1,73 BC = 5
<br /> AB = 1,73 cm
<br />Luas persegi panjang ABCD = AB x BC = 1,73 x 5 = 86,5 cm2
<br />Jadi, luas persegi panjang ABCD = 86,5 cm2
<br />Kunci : D
<br />
<br />Fungsi dan persamaan linier dan kuadrat
<br />3.1 Persamaan Kuadrat
<br />Persamaan kuaadrat adalah suatu persamaan dengan pangkat tertinggi dari perubahnya adalah "dua". Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah :
<br />ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real dan a 0
<br />Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan 3 cara yakni
<br />1. Memfaktorkan
<br />2. Melenkapkan kuadrat
<br />3. Menggunakan rumus
<br />Contoh :
<br />1. Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 8x – 20 = 0 dengan
<br />1. Memfaktorkan
<br />2. Melenkapkan kuadrat
<br />3. Menggunakan rumus
<br />Pembahasan:
<br />1. Memfaktorkan
<br />X2 + 8X – 20 = 0
<br />(x + 10)(x – 2) = 0
<br />x + 10 = 0 atau x – 2 = 0
<br />x1 = -10 atau x2 = 2
<br />Jadi,himpunan penyelesaiannya adalah (-10, 2)
<br />2. Melengkapkan kuadrat xl+ 8x – 20 =0
<br />x2+ 8X = -20
<br />x2 + 8x + (8/2)2 = -20 + (8/2)2
<br />X2 + 8x +42 = -20 + 42
<br />(x +4)2 = 36
<br />√(x + 4) = √36
<br />x+4 = 6
<br />(x +4) = 6 atau (x +4) = -6
<br />x,=6-4 x2=-6 -4
<br />x,=2 x2=-10
<br />Jadi, himpunan penyelesaiannya (-10, 2)
<br />
<br />3. Menggunakan rumus
<br />x2+ 8x - 20 = 0, nilai a = 1, b = 8, dan c = -20
<br />Rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah
<br />x1,2 =
<br />x1,2 =
<br />x1,2 =
<br />x1,2 =
<br />x1,2 =
<br />x1, = atau x,2 =
<br />x1 = 2 atau x2 = -10
<br />Jadi Himpunan Penyelesaian {-10,2}
<br />
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />1. D C
<br /> B
<br />
<br /> (x-2)
<br />
<br /> A (x+5) B
<br />
<br />Luas persegi panjang ABCD = 60 cm2 panjang diagonalnya adalah ...
<br />
<br />a. 5 cm
<br />b. 7 cm
<br />c. 12 cm
<br />d. 13 cm
<br />
<br />
<br />Pembahasan
<br />1. Luas persegi panjang = panjang x lebar
<br />60 = ((x + 5)(x - 2)
<br />60 = X2 + 3x - 10
<br />X2 + 3x -10 - 60 = 0
<br />X2 + 3x -70 = 0
<br />(x-7)(x+10) = 0
<br />x1=7 atau x2 = -10 (tidak memenuhi)
<br />Untuk x=7, maka panjang 7+5 =12
<br />Sedangkan lebar = 7-2 = 5
<br />Panjang diagonal persegi panjang =
<br /> =
<br /> =
<br /> = 13
<br />Jika panjang diagonal persegi panjang adalah 13 cm
<br />Kunci D
<br />
<br />Fungsi Kuadrat
<br />Bentuk umum fungsi kuadrat f(x) =ax2 + bx + c, a0,a,b,c,R
<br />Grafik fungsi kuadrat disebut parabola
<br />Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat dapat dilakukan dengan :
<br />1. Bantuan table
<br />2. Sketsa
<br />Gambarlah grafik fungsi f(x) = x2-2x-3, dengan domain {x|-2xx4,xR}
<br />Sedangkan grafiknya adalah
<br /> y
<br /> 5
<br /> 4
<br /> 3
<br /> 2
<br /> 1
<br />-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
<br /> -1
<br /> -2
<br /> -3
<br /> -4
<br />Dari grafik diatas dapat ditentukan bahwa :
<br />a. Pembuat nol fungsi adalah x=-1 dan x=3
<br />b. Persamaan sumbu simetri adalah x=1
<br />c. Nilai minimum fungsi adalah y=-4
<br />d. Koordinat titik balik fungsi adalah (1,-4
<br />e. Daerah hasil fungsi adalah {y|-4 y 5, yR}
<br />
<br />Latihan dan pembahasan
<br />1.Nilai minimum fungsi yang dirumuskan sebagai f(x)=3x2-24x+7 adalah
<br />a. -41 c. -137
<br />b. -55 d. -151
<br />Pembahasan :
<br />f(x)=3x2-24x+7
<br />Karena f(x) tidak dapat difaktorkan,
<br />Maka x =
<br /> =
<br /> = 4
<br />f(x) = 3x2-24x+7
<br />f(4) = 3.42-24.4+7
<br /> = 48-96+7
<br /> = -41
<br />Kunci A
<br />2.Salah satu titik potong grafik fungsif(x)= x2-2x-3 dengan garis 2x+y-1=0 adalah ..
<br />a. (2,-3) c. (-2,3)
<br />b. (2,-5) d.(-2,-5)
<br />Pembahasan:
<br />f(x)=x2-2x-3 dan 2x+y-1=0
<br />untuk 2x+y-1=0 maka y=-2x+1
<br />karena f(x)=x2-2x-3 dan 2x+y-1=0 saling berpotongan maka x2-2x-3= -2x+1
<br />
<br />x2-2x-3+2x-1 = 0
<br />x2-4 = 0
<br />(x+2)(x-2) = 0
<br />(x+2) = 0 atau (x-2) = 0
<br /> X = -2 atau x = 2
<br />
<br />Untuk x=-2, maka y = -2x+1
<br /> = -2.-2+1
<br /> = 4+1
<br /> = 5 -- (-2,5)
<br />
<br />
<br />Untuk x= 2, maka y = -2x+1
<br /> = -2.2+1
<br /> = -4+1
<br /> = -3 -- (-2,3)
<br />Jadi salah satu titik potong yang memenuhi adalah (2, -3)
<br />Kunci A
<br />
<br />
<br />
<br />Bangun datar
<br />1. Segitiga
<br />Jenis-Jenis segitiga dapat ditinjau dari besar sudutnya atau dari panjang sisi-sisinya 1. Jenis segitiga ditinjau dari besar sudut-sudutnya
<br />a. Segitiga lancip yaitu segitiga yang ketiga sudutnya adalah kurang dari 90°
<br />b. Segitiga siku-siku yaitu segitiga yang salah satu sudutnya 90°
<br />c. Segitiga tumpul yaitu segitiga yang salahsatu sudutnya lebih dari 900 dan kurang dari 180°
<br />Segitiga lancip Segitiga Siku-siku Segitiga Tumpul
<br />
<br />
<br />2. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya
<br />a. Segitiga sama sisi yaitu segitiga yang panjang ketiga sisinya sama panjang
<br />b. Segitiga samakaki, yaitu yang panjang kedua sisinya sama panjang
<br />c. Segitiga sembarang, yaitu yang panjang ketiga sisinya berbeda – beds
<br />Contoh :
<br />Segitiga sama kaki Segitiga sama kaki Segitiga Sembarang
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />Contoh :
<br />Ditinjau daro besar sudut dan panjang sisinya segitiga apakah PQR dibawah :
<br /> R
<br />
<br />
<br /> P
<br />
<br />
<br />Pembahasan :
<br />PQR = 180° - RQS R Z=180°-ZPQR
<br />= 180° -1000 =180o - 50° - 80°
<br />= 80o = 50o
<br />Karena Qp = QR ( P = R) dan segitiga sudut dalam PQR lancip, maka PQR adalah segitiga lancip sama kaki
<br />
<br />Keliling Dan Luas Segitiga
<br />Keliling (K) segitiga adalah jumlah panjang ketiga sisinya Luas (L) segitiga adalah setengah hasil kali alas dan tingginya
<br />Perhatikan gambar ABC di samping
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />A= alas segitiga t = tinggi segitiga
<br />
<br />P. Teorema Pythagoras
<br />a = sisi miring (hipotenusa) b a
<br />b dan c sisi siku-siku
<br /> c
<br /> a2 = b2+c2 a =
<br /> b2 = a2-c2 b =
<br /> c2 = a2-c2 c =
<br />
<br />Contoh :
<br />1. Hitunglah Luas dan keliling Segitiga ABC di Samping!
<br /> Pembahasan : C
<br />L = a x t
<br />= x3x4cm2 4cm
<br />= 6 cm2
<br /> A B
<br /> 3cm
<br />Panjang AC =
<br /> =
<br /> = 5 cm
<br />K= AB + BC + AC
<br />= 3 cm + 4 cm + 5 cm
<br />= 12 cm
<br />Jadi Keliling Segitiga ABC = 12 cm
<br />
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />1. Jenis segitiga ABC pada gambar disamping ditinjau dari besar sudut-sudutnya adalah:
<br />a. Segitiga lancip
<br />b. Segitiga Siku-siku
<br />c. Segitiga tumpul
<br />d. Segitiga amakaki
<br />
<br />Pembahasan:
<br />ACD =180° - ACD B = 1800 - A - ACB
<br />=180° - 86° = 180° - 370 - 94°
<br />= 940 = 49°
<br />Karena dari salah satu sudut segitiga ABC adalah sudut tumpul, maka
<br />ABC adalah segitiga tumpul
<br />Kunci C
<br />2. Keliling sebuah segitiga samakaki 36 cm. Jika panjang alasnya 10 cm, maka lugs segitiga itu adalah ...
<br />a. 360 cm2
<br />b. 180 cm2
<br />c. 120 cm2
<br />d. 60 cm
<br />
<br />Pembahasan :
<br />Perhatikan gambar di samping
<br />x = panjang kaki segitiga
<br />t = tinggi segitiga
<br />x +x + 10 cm = K
<br />2x+10 = 36
<br />2x = 26
<br />x = 13
<br />t =
<br /> =
<br /> = 12
<br />
<br />L = 1/2a x t
<br />= 1/2x 10 cm x 1 cm = 60 cm2
<br />Jadi luas segitiga = 60 cm2
<br />Kunci C
<br />Keliling dan Luas
<br />Persegi adalah bangun datar yang panjang sisi-sisinya sama panjang dan sudut-sudutnya siku-siku.
<br />Keliling (K) persegi adalah empat kali panjang sisinya
<br />Luas (L) persegi adalah hasil kali kedua sisinya
<br />Perhatikan gambar disamping! D C
<br />K=AB + BC + CD + DA atau k = 4s
<br />L=AB x AD atau L = s x s
<br />
<br />K = KelilingPersegi
<br />L = Luas Persegi
<br />S = Panjang sisi A B
<br />Contoh :
<br />Hitunglah luas dan keliling persegi yang panjangnya sisinya 5 cm
<br /> L = s x s Keliling = 4s
<br /> =5x5 =4x5
<br />= 25 cm2 = 20 cm
<br />Jadi luas persegi adalah 25 cm2 dan keliling 20 cm
<br />Jajargenjang
<br />Jajargenjang adalah bangun segi empat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang
<br />Sifat-sifat jajargenjang: (1) sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang; (2) sudut yang berhadapan sama besar; (3) kedua diagonalnya berpotongan di tengah-tengah; (4) susud yang berdekatan jumlahnya 800; (5) menempati bingkainya dengan dua cara.
<br />Perhatikan jajar genjang disamping ini!
<br />1. AB = DC, AD = BC dan AB//DC, AD//BC D C
<br />2. A=C dan B=D
<br />3. AO = CO dan BO = DO O
<br />4. BAD + ABC = 1800
<br /> A B
<br />
<br />Luas dan Keliling Jajargenjang
<br />Luas (L) jajargenjang adalah hasil kali alas (a) dan tinggi (t)
<br />
<br />L = a x t
<br />
<br />Pada jajargenjang di samping, alasnya Adalah AB dan tingginya DE.
<br />Keliling ABCD = AB + BC + CID + AD
<br />
<br />Jadi :
<br />Keliling JajarGenjang = Jumlah panjang sisi-sisinya
<br />Contoh :
<br />Pada jajar genjang ABCD diatas, diketahui panjang AB = 10 cm, AE = 3 cm, dan DE = 4 cm. Hitunglah luas dan keliling ABCD tersebut?
<br />
<br />Pembahasan
<br />A = 10 cm, t = 4 cm dan AE = 3 cm
<br />Panjang AD = √AE2 - t2 =√132-42
<br /> =√25
<br />= 5 cm
<br />Luas = a x t
<br />=10 x4 cm2
<br />= 40 cm2
<br />Jadi luas ABCD = 40 cm2
<br />Keliling = AB + BC + CD + AD
<br />= 10 cm + 5 cm + 10 cm + 5 cm = 30 cm
<br />Jadi keliling ABCD = 30 cm
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />Diketahui jajar genjang PQRS,
<br />luas PQRS = 144 cm2
<br />Panjang PQ = 18 cm, dan QU = 9 cm.
<br />Keliling jajargenjang adalah ...
<br />a. 64 cm
<br />b. 68 cm
<br />c. 72 cm
<br />d. 85 cm
<br />
<br />Pembahasan
<br />Luas x PQRS = a x t
<br /> = PS x QU
<br />144 = PS x 9
<br />PS =144:9
<br /> = 16
<br />QR = PS
<br />=16 cm
<br />K = PQ +QR +RS + SP
<br /> = 18cm+16cm+18cm+16cm
<br /> = 68 cm
<br />Jadi keliling jajargenjang PQRS = 68 cm
<br />Kunci B
<br />
<br />
<br />Belah Ketupat
<br />Belah ketupat adalah bangun segi empat yang panjang sisinya sama panjang
<br />sifat-sifat belah ketupat
<br /> semua sisinya sama panjang
<br /> sudut yang berhadapan sama besar
<br /> diagonal-diagonalnya merupakan sumbu simetri
<br /> kedua diagonalnya berpotongan di tengah – tengah dan saling berpotongan tegak lures
<br /> dapat menempati bingkainya 2 cara
<br />
<br />Perhatikan gambar belah ketupat ABCD Di samping!
<br />1. AB =BC = CD = AD
<br />2. A = C dan B = D
<br />ABD = CBD clan BAC = DAC A B
<br />3. Ao = C), BO = DO, dan AC ┴ BD
<br />Luas dan Keliling Belah Ketupat
<br />Perhatikan gambar belah ketupat ABCD Di samping!
<br />Luas ABCD = x AC x BD
<br />AC dan BD adalah diagonal belah ketupat ABCD C
<br />Jadi:
<br />
<br />
<br />
<br />Atau
<br />L ='/2 d1 x d2 d1 = diagonal pertama
<br />d2 = diagonal kedua
<br />Keliling belah ketupat ABCD = AB + BC + CD+ AD
<br />Jadi :
<br />
<br />
<br />Atau
<br />K = 4s s = panjang sisi
<br />Contoh :
<br />Hitunglah luas clan keliling belah ketupat yang panjang diagonalnya 12 cm dan 16 cm!
<br />Pembahasan:
<br />Perhatikan gambar sketsa belah ketupat di samping!
<br />D1 = 12 cm, d2= 16 cm
<br />s =√62-82
<br /> = √100
<br />= 10 cm
<br />L = 1/2 x di x d2
<br /> = 1/2 x 12 x 16 CM2
<br /> = 96 cm2
<br />Jadi luas belah ketupat = 96 cm2
<br />K =4s
<br />=4x10cm
<br />=40cm
<br />Jadi keliling belah ketupat = 40 cm
<br />
<br />
<br />
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />Keliling belah ketupat ABCD = 104 cm
<br />Jika panjang AC = 48 cm, maka luasnya adalah ... D
<br />a. 68 cm2
<br />b. 200 cm2
<br />c. 480 cm2
<br />d. 960 cm2
<br />
<br />Pembahasan
<br />Perhatikan gambar belah ketupat di samping 104 cm, AC = 48 cm
<br />K = 4s
<br />104 = 4s
<br />S = 104 : 4
<br /> = 26 cm
<br />Panjang x = √s2 – 242
<br />=√262 – 242
<br />=√100 = 10cm
<br />Luas belah ketupat ABCD = 480 cm2
<br />Kunci C
<br />
<br />Layang –Layang
<br />Layang-layang adalah bangun segi empat dengan sisinya yang berdekatan sepasang-sepasang sama panjang. Sifat-sifat layang-layang
<br /> sisinya sepasang-sepasang sama panjang
<br /> sepasang sudut yang berhadapan sama besar
<br /> salah sate diagonalnya mempakan sumbu simetri
<br /> kedua diagonalnya berpotongan saling tegak lurus
<br /> menempati bingkainya dengan dua cara
<br />
<br />Perhatikan gambar laying-layang ABCD disamping
<br />AD = CD dan AB = BC
<br />A = C
<br />AO = OC
<br />AC ┴ BD
<br />Perhatikan gambar laying-layang ABCD jadi
<br />Luas layang-layang = x AC x BD
<br />AC dan BD adalah diagonal laying-layang ABCD
<br />Jadi
<br />Luas laying-layang = x hasil kali kedua diagonalnya
<br />Atau
<br />L = xd1xd2 d1 = diagonal pertama
<br /> d2 = diagonal kedua
<br />Keliling ABCD = AB + BC + CD + AD
<br />Jadi
<br />Keliling Layang-layang = Jumlah panjang keempat sisinya
<br />Contoh :
<br />Hitunglah luas laying-layang yang panjang diagonalnya 8cm dan 10cm
<br />
<br />Pembahasan :
<br />di = 8 cm, d2 = 10 cm
<br />L = x d1 x d2
<br />= X 8 X 10 cm2
<br />= 40 cm2
<br />Jadi luas layang – layang = 40 cm2
<br />Latihan dan Pembahasan:
<br />Salah satu sifat layang-layang yang dimiliki belah ketupat adalah ...
<br />a. mempunyai satu sumbu simetri
<br />b. dapat menempati bingkainya dengan 4 cara
<br />c. diagonalnya berpotongan tegak lurus
<br />d. dapat dibaentuk dari dua segitiga sembarang yang kongruen
<br />Pembahasan:
<br />a. Salah, karen belah ketupat mempunyai dua sumbu simetri
<br />b. Salah, karena layang-layang dapat menempati bingkainya hanya dengan dua cara
<br />c. Benar, karena layang-layang dan belah ketupat kaedua diagonalnya bepotongan tegak lurus
<br />d. Salah, karena layang-layang tidak selalu dibentuk oleh dua segitiga sembarang yang kongruen
<br />Kunci C
<br />
<br />Lingkaran
<br />Juring adalah daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur pada sebuah lingkaran
<br />Gambar disamping adalah contoh juring OAB Denga sudut pusat a° dan jari-jari r adalah
<br />Luas Juring dan Panjang Busur
<br />Rumus luas juring dengan sudut pusat a° Dan panjang jari-jarinya r adalah
<br />
<br />
<br />Rumus panjang busur dengan sudut pusat a° Dan panjang jari-jarinya r adalah
<br />
<br />
<br />Contoh :
<br />Hitunglah luas juring dan panjang busur sebuah juringyang sudut pusatnya 900 dan panjang jari-jarinya 7 cm! Pembahasan :
<br />r = 7 cm dan a = 900
<br />Rumus luas juring dengan sudut pusat a° Dan panjang jari-jarinya r adalah
<br />Luas juring = x r2
<br />= x 7x7
<br />= 38,5
<br />Jadi luas juring uring adalah 38,5 cm2
<br />Panjang busur = x2r
<br /> = x2x x7
<br /> = 11
<br />Jadi panjang busur adalah 11 cm
<br />Hubungan Susut Pusat dan Susut Keliling
<br />Perhatikanj gambar di samping
<br />O adalah pusat lingkaran AOC = sudut pusat
<br />B titik pada keliling lingkaran
<br />ABC = sudut keliling
<br />Hubungan sudut pusat dan sudut keliling pads setiap lingkaran adalah
<br />
<br />Besar sudut pusat = 2 kali sudut keliling bila kedua sudut menghaadap busur yang sama
<br />atau
<br />Besar sudut keliling ='/2 sudut pusat bila bila kedua sudut menghadap busur yang sama
<br />Pada gambar di atas, AOC dan ABC menghadap busur yang sama yaitu busur AC.
<br />Jadi :
<br />AOC = 2 x ABC atau
<br />ABC = AOC
<br />Contoh :
<br />Pada gambar di samping diketahui PRS = 30°
<br />Hitunglah besar POS dan PQS
<br />Pembahasan :
<br />POS = 2 x PRS
<br />=2x30o
<br /> =60o
<br />PQS = x POS
<br />= x 60°
<br />= 30°
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />Perhatikan gambar di samping!
<br />Diketahui COD = 41° dan CBO = 270. Besar AOD
<br />a. 72o
<br />b. 68o
<br />c. 56o
<br />d. 44o
<br />Pembahasan :
<br />Perhatikan gambar di samping!
<br />COD samakaki karena OD = OC (jari-jari)
<br />Maka DCO = DCO = 41°
<br />BCO samakaki karena BO = CO (jari-jari)
<br />Maka BCO = CDO = 270
<br />BOD= 2 x (DCO +BCO)
<br />= 2 x (410 + 27°)
<br />= 136°
<br />BOD =180°- BOD
<br /> =180° 136°
<br /> = 441
<br />Kunci D
<br />
<br />Garis Singgung Lingkaran
<br />Perhatikan gambar di samping!
<br /> k adalah garis diluar lingkaran
<br /> m adalah garis memotong lingkaran
<br /> l adalah garis menyinggung lingkaran di titik N. Sehingga garis l tegak lurus dengan jari-jari ON
<br />
<br /> Setiap garis singgung selalu tegak lurus dengan
<br />Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgungnya
<br />Garis Singgung Persekutuan Dala Perhatikan gambar di samping!
<br />d = AB (garis singgung persekutuan dalam)
<br />s = OP (jarak 2 titik pusat lingkaran)
<br />R = OA (jari-jari lingkaran besar)
<br />r = PB (jari-jari lingkaran kecil)
<br />ABCO adalah persegi panjang
<br />CO + AB = d (garis singgung persekutuan dalam)
<br />BC = AO = R
<br />Perhatikan OPC!
<br />OP2 = OC2 + PC2
<br />S2 = d2 + (R + r)2
<br />d2 = S2 - (R + r)2
<br />(R + r)2 = S2 - d2
<br />Contoh :
<br />Diketahui jarak titik pusat kedua lingkaran 10 cm dan panjang garis singgung persekutuan dalamnya 8 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran kecil 2 cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran besar
<br />Pembahasan :
<br />S = 10 cm, d = 8 cm, dan r = 2 cm
<br />(R + r)2 = S2 - d2
<br />R + r = √S2 - d2
<br />R + 2 = √102 - 82
<br />R +2 = √36
<br />R + 2 = 6
<br />R = 6 – 2
<br />R = 4
<br />Jadi jari-jari lingkaran besar 4 cm
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />Perhatikan gambar di samping!
<br />Titik O dan P merupakan titik pusat Lingkaran
<br />dan panjang garis singung persekutuan dalam AB 12 cm.
<br />Jika R = 3 cm dan OP = 13 cm,
<br />maka perbandingan Luas lingkaran P dan luas lingkaran O adalah ...
<br />a. 2:3
<br />b. 3:2
<br />C. 4:9
<br />d. 9:4
<br />Pembahasan
<br />D=12 cm, R = 3 cm, dan s = 13 cm
<br />(R + r)2 = S2 - d2
<br />R + r = √S2 - d2
<br />3 + r = √132 - 122
<br />3 + r = √25
<br />3 + r = 5
<br />R = 5 – 3
<br />R = 2
<br />Perbandingan luas lingkaran P dan luas lingkaran O
<br /> r2 : R2
<br /> x22 : x32
<br />4 : 9
<br />Jadi, Perbandingan luas lingkaran P dan luas lingkaran O adalah 4 : 9.
<br />Kunci C
<br />
<br />Segitiga-Segitiga Yang Sebangun
<br />Sayar dua segitiga sebangu ada dua yaitu susud yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai Derbandingan yang sama.
<br />a. Jika sudut sudut yang bersesuaian pada segitiga sama besar, maka sisi-sisi yang bersesuaian adalah sebanding, jadi dua segitiga tersebut sebangun
<br /> Contoh :
<br />Perhatikan ADE dan ABC pads gambar di samping!
<br />1. A = A (berimpit)
<br />2. ADE = ABC (sehadap)
<br />3. AED = ACE (sehadap)
<br />
<br />
<br />b. Jika sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga sebanding, maka sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama besar, jadi dua segitiga tersebut sebangun
<br />Contoh :
<br />Dalam ABC, diketahui panjang AB = 4 cm, BC = 10 m dan AC = 6 cm
<br />Dalam DEF, diketahui panjang DE = 9 cm, EF = 6 m dan DF = 15 cm
<br />Tunjukkan ABC dan DEF sebangun dan tunjukkan pasangan sudut- sudut sama besar!
<br />Pembahasan :
<br />
<br />Ketiganya dapat disederhanakan menjadi (2/3)
<br />Jadi ABC dan DEF karena sisi yang bersesuaian sebanding yaitu
<br />
<br />D AE DE AB AC -- BC
<br />Pasangan sudut yang sama besar adalah
<br />A = E B = F C = D
<br />
<br />Latihan dan Pembahasan:
<br />Pada gambar di samping panjang EF
<br />dalah ...
<br />a. 6,75 cm
<br />b. 9 cm
<br />c. 10,5 cm
<br />d. 10,8 cm
<br />Pembahasan :
<br />Perhatikan gambar di samping!
<br />GC sejajar AD maka: AG = EH = DC = 6 cm
<br />GH = AE = 5 cm dan
<br />CH = DE = 3 cm
<br />GB = 18 cm – 6 cm = 12 cm
<br />
<br />Perhatikan CHF dan CGB
<br /> D 6cm C
<br />
<br />
<br />= 4,5
<br />Panjang EF = EH + AF
<br />=6cm+4,5cm
<br />= 10, 5 cm
<br />Kunci C
<br />Bangun Ruang
<br />A. Kubus
<br />Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang kongruen yang berbentuk persegi.
<br />Perhatikan gambar kubus di samping
<br /> Setiap daerah persegi pada kubus disebut sisi
<br /> Perpotongan antara dua persegi atau sisi, pada kubus disebut rusuk
<br /> Perpotongan antara tiga rusuk pada kubus disebut titik sudut atau titik pojok
<br />Sehingga kubus rnernpunyai:
<br />1. Enam buah sisi berbentuk persegi yang kongruen
<br />2. Dua belas rusuk yang sama panjang
<br />3. Delapan buah titik sudut (titik pojok)
<br />Jaring-jaring Kubus
<br />Perhatikan gambar kubus ABCD,EFGH di bawah ini!
<br />
<br />
<br />
<br />Jika kubus pads gambar I yang terbuat dari karton digunting menurut rusuk EH, EA, HD, HF, HD, dan FB, maka maka hasilnya akan nampak pads gambar II
<br />Yang merupakan rangkaian 6 buah persegi disebut jaring-jaring kubus pads gambar I Gambar di samping adalah jaring-jaring kubus, karena dari rangkaian persegi tersebut dapat dibuat kubus tertutup, tanpa ada pesegi yang sating bertumpukkan
<br />
<br />Gambar di samping bukan jaring-jaring kubus,
<br />dari 6 rangkaian persegi tersebut tidak dapat
<br />dibuat kubus tertutup dan persegi yang rangkap
<br />
<br />Volume clan Luas Sisi Kubus Gambar di samping adalah kubus Rusuknya = s
<br />
<br />Rumus Volume (V) kubus adalah V=sxsxs atau V=s3
<br />Rumus luas (L) kubus adalah L=6sxs atau L = 6S2
<br />
<br />Contoh:
<br />Hitunglah volume dan luas sisi kubus yang panjang rusuknya 5 cm Pembahasan:
<br />S = 5 cm L =6XS2
<br />V= S3 = 6x52
<br />= 53 = 150 cm2
<br />= 125 cm3
<br />Jadi volume kubus 125 cm3 clan luas sisi kubus 150 cm2
<br />Latihan dan Pembahasan :
<br />Volume sebuah kubus yang memiliki luas permukaan1.176 cm2 adalah ...
<br />a. 1.331 cm3
<br />b. 2.197 cm3
<br />c. 2.774 cm3
<br />d. 4.096 cm3
<br />Pembahasan:
<br />Luas permukaan = 6 x S2 (s rusuk kubus)
<br />1.176 = 6XS2
<br />S2 = 1.176 : 6
<br />= 196
<br />s = √176
<br />= 14 cm
<br />V = S3
<br /> = 143
<br /> = 2.744 cm3
<br />Jadi volume kubus = 2.744 cm3
<br />Limas
<br />Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh segi banyak dan beberapa buah segitiga yang bertemu pada satu titik puncak. Nama limas berdasarkan segi banyak pada alasnya:
<br />Limas segitiga adalah limas yang alasnya berbentuk segitiga
<br />Limas segilima adalah limas yang alasny berbentuk segi lima
<br />Limas persgi adalah limas yang alasnya berbentuk persegi
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /> Limas segitiga Limas segi lima Limas persegi
<br />
<br />
<br />Luas clan Volume Limas
<br />Rumus volume (V) limas adalah seper tiga luas alas kali tingi limas
<br />
<br /> V= x luas alas x tinggi
<br />
<br />Luas limas terdiri dari luas alas dan luas sisi tegaknya pads gambar limas T. ABCD disamping alasnya adalah persegi ABCD dan sisi tegaknya adalah 4 segitiga samakaki yang kongruen TAB, TBC, TCD, dan TAD
<br />
<br /> Luas limas = luas alas + jumlah luas segitiga sisi tegak
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />Contoh :
<br />Hitung luas dan volume limas persegi T.ABCD pada gambar di atas, jika panjang AB 14 cm dan TO 24 cm!
<br />Pembahasan :
<br />Panjang TM = √T02 + OM2
<br />= √T02 + (1/2 x AB)2
<br />=√242 + (1/2 x 14) 2
<br />=√576+49
<br />= 25
<br />Luas limas = Luas alas + 4 x luas T.BC
<br />= (AB x AD) + 4 x ('/2x BC x TM)
<br />= (14 x 14) + 4 x ('/2 X 14 x 25)
<br />= 196 + 700
<br />= 896 cm2
<br />Jadi luas limas = 896 cm2
<br />V = x luas alas x tinggi = x(14x14)x24 = 1568 cm'
<br />Jadi volum limas = 1568 cm3
<br />
<br />Kerucut :
<br />Kerucut jugs dapat dikatakan sebagai limas dengan alas lingkaran dan sisi tegaknya berupa bidang lengkung yang biasa disebut selimut kerucut
<br />Pada gambar kerucut di samping,
<br />- r adalah jari-jari alas kerucut
<br />- t adalah tinggi kerucut
<br />- s adalah garis pelukis
<br />Hubungan r, t clans adalah sebagai berikut:
<br />
<br />S2 = r2 + r2 S2 = r2 + r2
<br />r2 =s2 +t2 Atau r2 =s2 + t2
<br />t2 = s2 + r2 t2 = s2 + r2
<br />Contoh :
<br />Hitunglah tinggi kerucut yang jari-jari alasnya 8 cm dan panjang garis pelukisnya 10 cm
<br />Pembahasan :
<br />r = 6 cm, s = 10 cm
<br />t =√102-62
<br />t = √64
<br />t = 8
<br />Jadi tingi kerucut = 8 cm
<br />
<br />Volume dan Luas Kerucut
<br />Volume kerucut sama dengan volume limas yaitu 1/3 x luas alas x tinggi. Oleh karena alas kerucut berbentuk lingkaran, maka alas kerucut adalah r2, sehingga rumus volum (V) kerucut adalah
<br />V = 1/3r2t
<br />Luas sisi kerucut terdiri dari luas alas yang berbentuk lingkaran dengan rumus r2 dan luas selimut kerucut dengan rumus rs. Jadi rumus luas (L) sisi kerucut adalah
<br />
<br />L = r2 + rs atau L = r (r + s)
<br />Contoh :
<br />Hitunglah volume dan luas kerucut yang tingginya 12 cm serta garis pelukisnya 13 cm!
<br />Pembahasan:
<br />t = 12 cm, s = 13 cm
<br />r = √s2 - t2
<br /> = √132 - 122
<br /> = √25
<br /> = 5 cm
<br />
<br />V = r2t
<br /> = x3,14x5x5x12cm3
<br /> = 314 m2
<br />Jadi volume kerucut = 314 m3
<br />L = ,r ( r + s)
<br /> =3,14x5(5+13)
<br />= 282,6 cm2
<br />
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />Suatu kerucut jari-jarinya 27cm dan tingginya 24 cm. Jika = , luas permukaan kerucut adalah ...
<br />
<br />a. 682 cm2
<br />b. 704cm2
<br />c. 726 cm2
<br />d. 752 cm2
<br />
<br />Pembahasan:
<br />
<br />r = 7 cm, t = 24 cm
<br />s = √r2 + t2
<br /> = √72 + 242
<br /> = √625
<br /> = 25 cm
<br />
<br />L = r (r + s)
<br /> = x7(7+25)
<br /> = 704
<br />
<br />Jadi luas seluruh permukaan kerucut 704 cm2
<br />Kunci B
<br />Dua garis sejajar yang dipotong oleh garis lain
<br />Sudut-sudut yang besarnya sama
<br />1. Sudut-sudut sehadap A1,2
<br />A, dengan B, 3 4
<br />A2 dengan B2 B1,2
<br />A3 dengan B3 3 4
<br />A4 dengan B4
<br />2. Sudut-sudut daklam bersebrangan
<br />A3 dengan B1
<br />A4 dengan B2
<br />Sudut-sudut yang jumlahnya 1800
<br />1. Sudut dalam sepihak
<br />A3 dengan B2
<br />A4 dengan Bi
<br />2. Sudut lar sepihak
<br />A, dengan B4
<br />A2 dengan B3
<br />Pada gambar di samping, diketahu sudut A = 700, hitunglah
<br />sudut P2 dan sudut S
<br />Pembahasan:
<br />P2= Q2 = 700 (sehadap)
<br />S + P2 =1800
<br />S + 700 = 1800
<br />S = 1800 - 700
<br />=1100
<br />
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />Perhatikan gambar di samping
<br />Jika besar sudut CBH = 62,30,maka besar sudut DCE = …
<br />a. 27,7 0
<br />b. 62,3 0
<br />c. 117,7 0
<br />d. 118,3
<br />Pembahasan:
<br />Susut DCF = sudut CBH
<br />= 62,30
<br />Sudut DCE + sudut DCF = 1800 (saling berpelurus)
<br />Sudut DCE +62,30= 1800
<br />Sudut DCE = 1800 - 62,30
<br /> = 117,70
<br />
<br />
<br />Transpormasi
<br />a. Refleksi (Pencerminan)
<br />1. Pencerminan terhadap sebuah garis
<br />Pada gambar disamping, A'B'C' Adalah bayangan ABC pada
<br />Pencerminan terhadap garis xy
<br />
<br />
<br />Sifat-sifat pada pencerminan
<br />a. Jarak setiap titik asal terhadap cermin sama dengan jarak bayangannya terhadap cermin itu (AP = A'P BQ B'Q dan CR = C'R)
<br />b. Garis yang menghubungkan titik asal dan bayangannya selalu tegak lurus terhadap cermin (AA' ┴ XY, BB' ┴ XY, dan CC┴XY)
<br />c. Pada pencerminan terhadap garis, maka suatu bangun dan bayangannya akan kongruen ( ABC kongruen dengan A'B'C')
<br />2. Pencerminan terhadap garis pada bidang koordinat
<br />Titik asal Pencerminan terhadap Bayangan
<br />(a, b) Sumbu x (a, -b)
<br />(a, b) Sumbu y (-a, b)
<br />(a, b) Garis y=x (b, a)
<br />(a, b) Garis y=-x (-b, -a)
<br />(a, b) Garis x=h (2h - a, b)
<br />(a, b) Garis y=h (a, 2h - b)
<br />Contoh :
<br />Tentukan koordinat bayangan titik A(2, 3) pads pencerminan terhadap garis x = 7!
<br />Pembahasan :
<br />a = 2, b = 3 h = 7
<br />A'(2h - a, b)
<br />A'(2(7) - 2, 3)
<br />A'(12, 3)
<br />b. Transpormasi (pergeseran)
<br />Dalam translasi, sebuah bangun berpindah dengan arah dan jarak tertentu. Arah perpindahan disebut arah translasi dan jarak perpindahan disebut besartranslasi jadi sebuah translasi ditentukan oleh arah dan besarnya.
<br />Pada translasi AB menyatakan besar d,an arah A ke B
<br />Sedangkan AB hanya menyatakan jarak atau panjang AB, sehingga AB BC = AC artinya "dilanjutkan dengan " tetapi AB + BC > AC
<br />c. Translasi dengan pasangan bilangan
<br />Suatu translasi dapat dinyatakan dengan pasangan bilangan [ ]
<br />Dengan x sebagai komponen horizontal dan y sebagai komponen vertikal
<br />AB =( ) berarti 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas
<br />CD =( ) berarti4 satuan ke kiri dan 3 satuan ke bawah
<br />Pada translasi( ) berlaku rumus bayangan
<br /> A(a, b)---> A'(a + x, b + Y)
<br />Contoh :
<br />Tentukan koordinat bayangan tititk P(2, 3) oleh translasi ( )
<br />Pembahasan:
<br />a = 2, b = 3, x = 4, y = 5
<br />P'(a + x, b + Y) P'(2 + 4, 3 + 5) P'(6, 8)
<br />
<br />Latihan dan Pembahasan
<br />Titik B direfleksikan terhadap garis x = -3, kemudian bayangannya di translasikan oleh ( ) Koordinat bayangan terakhir titi B adalah
<br />
<br />a. B"(1, 4)
<br />b. B"(4, -1)
<br />c. B"(4, 1)
<br />d. B"(-4, 1)
<br />
<br />Pembahasan :
<br />B(-6, 10) direfleksikan terhadap garis x = -3
<br />a = -6, b = 10, h= -3
<br />B'(2h - a, b)
<br />B'(2(-3) - (-6), 10)
<br />B'(0, 10)
<br />Kemudian B'(0, 10) ditranslasikan oleh maka
<br />B"(0 +4, 10 + (-9)) B"(4, 1)
<br />Kunci C
<br />d. Rotasi (Perputaran)
<br />a. Pengertian rotasi
<br />Dalam suatu rotasi pada bidang datar ditentukan oleh pusat rotasi, besar sudut rotasi, dan arah rotasi (searah atau berlawanan dengan arah putaran jarum jam)
<br />Pada rotasi pada pusat 0(0, 0) sejauh 900 berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam dapat dinyatakan dengan (O, 900)
<br />Pada rotasi pada pusat 0(0, 0) sejauh 900 searah dengan arah putaran jarum jam dapat dinyatakan dengan (0, -900)
<br />Jadi
<br />Arah putaran yang berlawanan dengan arah jarum jam adalah rotasi bernilai positif (+)
<br />Dan
<br />Arah putaran yang searah dengan arah jarum jam adalah rotasi bernilai negative (-)
<br />Perhatikan gambar di samping! Bayangan 1 adalah hasil rotasi obyek terhadap (0,900).
<br />Sedangkan Bayangan 2 hasil Rotasi obyek terhadap (0,-900).
<br />b. Rumus rotasi pada bidang koordinat
<br />Titik asal Rotasi Bayangan
<br />
<br />(a, b) (0,900) atau (0,-2700) (-b, a)
<br />(a, b) (0,-900) atau (0,2700) (b, -a)
<br />(a, b) (0,1800) atau (0,- 1800) (-a, -b)
<br />Contoh :
<br />Tentukan koordinat bayangan titik A(-5, 3) pada rotasi dengan pusat 0(0, 0) sejauh 900 berlawanan arah dengan putaran jarumjam!
<br />Pembahasan :
<br />A(a, b) (0, 90°) A'(-b, a)
<br />A(a-5, 3) (0, 900) A'(-3, -5)
<br />Latihan dan Pembahasan :
<br />Titik A(-2, 5) ditranslasikan oleh kemudian dirotasikan dengan pusat 0 sejauh 900 berlawanan dengan arah jarum jam. Koordinat bayangan titik adalah ...
<br />Pembahasan :
<br />A(-2, 6) ditranslasikan oleh maka bayangannya …
<br />A'(-2 + (-4), 3 + (-3)
<br />A'(-2-4,3-3)
<br />A'(-6, 2)
<br />maka
<br />A(a, b) (0, 900) A'(-b, a)
<br />A(-6, 2) (0, 900) A'(-2, -6)
<br />Kunci B
<br />
<br />Dilatasi (Perkalian)
<br />Perhitungan dilatasi
<br />Dilatasi adalah transportasi bidang yang memetakan setiap titik P pada bidang kesatu titik P' sedemikian sehinggatOP= k.OP Artinya OP' adalah k kali OP
<br />Titik O, P dan P' terletak pada suatu garis lurus
<br />
<br />Faktor skala (k) positif memiliki arah yang sama dengan OP Contoh
<br /> OP' = 3 OP
<br /> 0 p P'
<br /> 2. - il • 11 • ji - li• OP' = -3 OP
<br /> P' 0 P
<br />Suatu dilatasi denga pusat 0(0, 0) clan faktor skala k dapat
<br />jinyatakan dengan [0, k)
<br />humus dilatasi pada bidang kooedinat
<br />Pada dilatasi [0, kj maka
<br />A(a, b) > A'(k x a, k x b)
<br />Contoh :
<br />-entukan koordinat bayangan titik B(-7, 8) pada dilatasi dengan pusat 0(0, 0) clan faktor skala -5
<br />Pembahasan :
<br />a = -7, b = 8 k = -5 E'(k x a, k x b)
<br />3'(-5x-7,-5x8) ;. (35, -49)
<br />Latihan clan Pembahasan:
<br />7tik P(6, -9) dilatasi dengan pusat 0(0, 0) clan faktor skala 3, kemudian bayangannya ditranslasikan101
<br />(-18
<br />,"cordinat bayangan titik p adalah ...
<br /> a (-7, 30)
<br />(7, 6)
<br />(-8, 15)
<br />(8, -15)
<br />Pembahasan :
<br />a= 6 b = -9 dan k = 3
<br />',laka
<br />(k x a, k x b)
<br />(3 x 6, 3 x -9)
<br />(18, -27) kemudian ditranslasikan oleh10 1-18 =(18-10,-27+18)
<br />:;"(8, -9)
<br />Kunci D
<br />alian Data
<br />data statistik dapat disajikan dalam bentuk kelompok angka,tabel clan diagram.
<br /> z bahasan ini akan disajikan diagram batang clan lingkaran
<br />Diagram Batang
<br />-ntuk membuat diagram batang diperlukan sumbu mendatar clan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus.kedua sumbu —asing-masing dibagi menjadi beberapa bagian dengan sekala yang sama. Pada diagram batang data statistik disajikan -engan menggunakan gambar berbentuk batang yang letaknya vertikal clan hatisontal.Letak batang yang satu dengan yang lain ;wing berdampingan dibuat terpisah.berikut ini adalah data kendaraan rakitan dalam negeri jenis Jeep dengan pembulatan ke - Haan terdekat.
<br />Tahun 1989 1990 1991 1992 1993
<br />Banyak Kendaraan 3.000 7.000 7.000 9.000 11.000
<br />
<br />Dari diagram batang d' atas dengan mudah dapat dibandingkan hasil rakitan mobil Jeep antar tahun dengan memperhatikan tinggi masing-masing batang.Selaib itu dengan mudah dapat diketahui tahun yang dihasilkan jumlah rakitan Jeep terbanyak.
<br />2. Diagram Lingkaran
<br />Selain diagram batang,data statistik dapat jugs disajikan dengan menggunakan diagram lingkaran.Daerah lingkaran menggambarkan data seluruhnya,Sedangkan bagian dari data digambarkan dengan menggunakan juring atau sektor.Besar sudut pusat tiap juring harus sebanding dengan besar nilai data yang disajikan.Dengan demikian sebelum membuat diagram lingkaran ,terlebih dahulu harus dihitung sudut pusat dad tiap juring.Berikut ini adalah daftar kegiatan penduduk Indonesia yang berumur 10 tahun ke atas pads tahun 1993 dengan pembulatan ke jutaan terdekat,dengan banyak penduduk 144 juts orang.
<br />Sebelum membuat diagram lingkaran,terlebih dahulu hitunglah sudut pusat untuk tiap juring.
<br />Jenis Kegiatan Frekwensi Besaran Sudut Pusat
<br />Sekolah 29.000.000 29.000.000 360° = 72,5°
<br /> 144.000.000 x
<br />Bekerja 79.000.000 79.000.000 360° = 72,50
<br /> 144.000.000 x
<br />Mengurus rumah tangga 22.000.000 22.000.000 360° = 72.50
<br /> 144.000.000 x
<br />Lain - lain 14.000.000 14.000.000 360° = 72,5°
<br /> 144.000.000 x
<br />Diagram lingkarannya adalah seperti dibawah ini :
<br />
<br />
<br />Ea di atas adalah data nilai ulangan matematika kelas II.Banyaknya siswa yang mendapat nilai tertinggi adalah.....
<br />10 orang 8 orang 7 orang 3 orang
<br />=smbahasan :
<br />a tertinggi adalah 9 pads arah mend atar, seclang kan banyaknya siswa bisa dilihat pads arah vertikal berada diantara 2 dan 4 a 3.Sehingga banyaknya siswa yang mendapat nilai tertinggi yaitu 9 ada 3 orang.
<br />•,.nci : D
<br />_iagram di samping menunjukan tranportasi
<br />yang digunakan oleh siswa untuk pergi ke
<br />Sekolah.jumlah siswa seluruhnya ada 300 orang
<br />3anyaknya siswa yang menggunakan bus kota
<br />adalah 33 oarng 67 orang 57 orang 99 orang
<br />Pembahasan :
<br />Jumlah siswa seluruhnya 300 orang.Banyaknya siswa yang menggunakan bus kota adalah 33/100 x 300 orang = 99 orang.Jadi banyaknya siswa yang mnggunakan bis = 99 orang.
<br />Kunci : D
<br />3. Ukuran Pemusatan Dad Data Tunggal
<br />Pengertian mean,median,modus
<br />a. Mean atau Rata - rata
<br />Jumlah seluruh ukuran x
<br />Mean = atau x
<br />Banyak ukuran n
<br />b. Median
<br />Median disebut jugs nilai tengan.median merupakan nilai yang terletak di tengah data,jika data sudah diurutkan dari data kecil ke data terbesar.
<br />c. Modus
<br />Data yang diperoleh dari penelitian umumnya mempunyai nilai yang berbeda-beda.Ada yang data yang muncul satu kali.Data (ukuran )yang sering muncul disebut modus.
<br />Contoh :
<br />1. Tentukan mean,modus,dan median dari data berikut!
<br />
<br />Latihan Pembahasan
<br />1. Penghasilan rata - rata dari 6 orang Rp 4.500.000.Jika datang 1 orang,maka penghasilan rata - rata menjadi Rp 4.800.000.Penghasilan orang yang baru masuk adalah
<br />
<br />
<br />Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8065745243683274219.post-84227472608174840532010-02-26T02:32:00.000-08:002010-02-26T02:40:09.359-08:00Matematika<meta equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"><meta name="ProgId" content="Word.Document"><meta name="Generator" content="Microsoft Word 11"><meta name="Originator" content="Microsoft Word 11"><link rel="File-List" href="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5CADMINI%7E1%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtml1%5C01%5Cclip_filelist.xml"><link rel="Edit-Time-Data" href="file:///C:%5CDOCUME%7E1%5CADMINI%7E1%5CLOCALS%7E1%5CTemp%5Cmsohtml1%5C01%5Cclip_editdata.mso"><!--[if !mso]> <style> v\:* {behavior:url(#default#VML);} o\:* {behavior:url(#default#VML);} w\:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);} </style> <![endif]--><span style="font-size:85%;"><o:smarttagtype namespaceuri="urn:schemas-microsoft-com:office:smarttags" name="place"></o:smarttagtype><o:smarttagtype namespaceuri="urn:schemas-microsoft-com:office:smarttags" name="City"></o:smarttagtype><o:smarttagtype namespaceuri="urn:schemas-microsoft-com:office:smarttags" name="country-region"></o:smarttagtype></span><!--[if gte mso 9]><xml> <w:worddocument> <w:view>Normal</w:View> <w:zoom>0</w:Zoom> <w:punctuationkerning/> <w:validateagainstschemas/> <w:saveifxmlinvalid>false</w:SaveIfXMLInvalid> <w:ignoremixedcontent>false</w:IgnoreMixedContent> <w:alwaysshowplaceholdertext>false</w:AlwaysShowPlaceholderText> <w:compatibility> <w:breakwrappedtables/> <w:snaptogridincell/> <w:wraptextwithpunct/> <w:useasianbreakrules/> <w:dontgrowautofit/> </w:Compatibility> <w:browserlevel>MicrosoftInternetExplorer4</w:BrowserLevel> </w:WordDocument> </xml><![endif]--><!--[if gte mso 9]><xml> <w:latentstyles deflockedstate="false" latentstylecount="156"> </w:LatentStyles> </xml><![endif]--><!--[if !mso]><object classid="clsid:38481807-CA0E-42D2-BF39-B33AF135CC4D" id="ieooui"></object> <style> st1\:*{behavior:url(#ieooui) } </style> <![endif]--><style> <!-- /* Font Definitions */ @font-face {font-family:Wingdings; panose-1:5 0 0 0 0 0 0 0 0 0; mso-font-charset:2; mso-generic-font-family:auto; mso-font-pitch:variable; mso-font-signature:0 268435456 0 0 -2147483648 0;} @font-face {font-family:"Palatino Linotype"; panose-1:2 4 5 2 5 5 5 3 3 4; mso-font-charset:0; mso-generic-font-family:roman; mso-font-pitch:variable; mso-font-signature:-536870265 1073741843 0 0 415 0;} /* Style Definitions */ p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.MsoNormal {mso-style-parent:""; margin:0cm; margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:12.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-fareast-font-family:"Times New Roman";} h1 {mso-margin-top-alt:auto; margin-right:0cm; mso-margin-bottom-alt:auto; margin-left:0cm; mso-pagination:widow-orphan; mso-outline-level:1; font-size:24.0pt; font-family:"Times New Roman"; font-weight:bold;} h2 {mso-margin-top-alt:auto; margin-right:0cm; mso-margin-bottom-alt:auto; margin-left:0cm; mso-pagination:widow-orphan; mso-outline-level:2; font-size:18.0pt; font-family:"Times New Roman"; font-weight:bold;} h3 {mso-margin-top-alt:auto; margin-right:0cm; mso-margin-bottom-alt:auto; margin-left:0cm; mso-pagination:widow-orphan; mso-outline-level:3; font-size:13.5pt; font-family:"Times New Roman"; font-weight:bold;} p.MsoHeader, li.MsoHeader, div.MsoHeader {margin:0cm; margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; tab-stops:center 207.65pt right 415.3pt; font-size:12.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-fareast-font-family:"Times New Roman";} p.MsoFooter, li.MsoFooter, div.MsoFooter {margin:0cm; margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; tab-stops:center 207.65pt right 415.3pt; font-size:12.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-fareast-font-family:"Times New Roman";} a:link, span.MsoHyperlink {color:blue; text-decoration:underline; text-underline:single;} a:visited, span.MsoHyperlinkFollowed {color:blue; text-decoration:underline; text-underline:single;} p {mso-margin-top-alt:auto; margin-right:0cm; mso-margin-bottom-alt:auto; margin-left:0cm; mso-pagination:widow-orphan; font-size:12.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-fareast-font-family:"Times New Roman";} span.toctoggle {mso-style-name:toctoggle;} span.tocnumber {mso-style-name:tocnumber;} span.toctext {mso-style-name:toctext;} span.editsection {mso-style-name:editsection;} span.mw-headline {mso-style-name:mw-headline;} span.polytonic {mso-style-name:polytonic;} span.citationbook {mso-style-name:"citation book";} span.z3988 {mso-style-name:z3988;} span.printonly {mso-style-name:printonly;} @page Section1 {size:612.0pt 792.0pt; margin:72.0pt 90.0pt 72.0pt 90.0pt; mso-header-margin:36.0pt; mso-footer-margin:36.0pt; mso-paper-source:0;} div.Section1 {page:Section1;} /* List Definitions */ @list l0 {mso-list-id:1283416840; mso-list-template-ids:-261434926;} @list l0:level1 {mso-level-number-format:bullet; mso-level-text:; mso-level-tab-stop:36.0pt; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt; mso-ansi-font-size:10.0pt; font-family:Symbol;} @list l0:level2 {mso-level-number-format:bullet; mso-level-text:o; mso-level-tab-stop:72.0pt; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt; mso-ansi-font-size:10.0pt; font-family:"Courier New"; mso-bidi-font-family:"Times New Roman";} @list l1 {mso-list-id:1969701879; mso-list-template-ids:646341356;} @list l1:level1 {mso-level-number-format:bullet; mso-level-text:; mso-level-tab-stop:36.0pt; mso-level-number-position:left; text-indent:-18.0pt; mso-ansi-font-size:10.0pt; font-family:Symbol;} ol {margin-bottom:0cm;} ul {margin-bottom:0cm;} --> </style><!--[if gte mso 10]> <style> /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:"Table Normal"; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-parent:""; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-para-margin:0cm; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-ansi-language:#0400; mso-fareast-language:#0400; mso-bidi-language:#0400;} </style> <![endif]--> <h1 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span style="font-size:85%;">Matematika<o:p></o:p></span></h1><div> </div><h3 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span style="font-size:85%;">Dari Wikipedia bahasa Indonesia<o:p></o:p></span></h3><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Euclid" title="Euclid"><span style="color:#000000;">Euclid</span></a>, matematikawan Yunani, abad ke-3 SM, seperti yang dilukiskan oleh <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Raphael" title="Raphael"><span style="color:#000000;">Raphael</span></a> di dalam detail ini dari <i><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sekolah_Athena" title="Sekolah Athena"><span style="color:#000000;">Sekolah Athena</span></a></i>.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-0"><span style="color:#000000;">[1]</span></a></sup><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Matematika</span><span style="font-size:85%;"> (dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Yunani" title="Bahasa Yunani"><span style="color:#000000;">bahasa Yunani</span></a>: <i>μαθηματικά</i> - <i>mathēmatiká</i>) adalah studi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Besaran" title="Besaran"><span style="color:#000000;">besaran</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Struktur" title="Struktur"><span style="color:#000000;">struktur</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ruang" title="Ruang"><span style="color:#000000;">ruang</span></a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus"><span style="color:#000000;">perubahan</span></a>. Para <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematikawan" title="Matematikawan"><span style="color:#000000;">matematikawan</span></a> mencari berbagai pola,<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-1"><span style="color:#000000;">[2]</span></a><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-2"><span style="color:#000000;">[3]</span></a></sup> merumuskan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Konjektur" title="Konjektur"><span style="color:#000000;">konjektur</span></a> baru, dan membangun kebenaran melalui <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Metode_deduksi" title="Metode deduksi"><span style="color:#000000;">metode deduksi</span></a> yang <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kaku_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Kaku (matematika) (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">kaku</span></a> dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aksioma" title="Aksioma"><span style="color:#000000;">aksioma-aksioma</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Definisi" title="Definisi"><span style="color:#000000;">definisi-definisi</span></a> yang bersesuaian.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-3"><span style="color:#000000;">[4]</span></a></sup><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan" title="Bilangan"><span style="color:#000000;">bilangan</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Titik" title="Titik"><span style="color:#000000;">titik</span></a> hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Benjamin_Peirce" title="Benjamin Peirce"><span style="color:#000000;">Benjamin Peirce</span></a> menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-4"><span style="color:#000000;">[5]</span></a></sup> Di pihak lain, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein"><span style="color:#000000;">Albert Einstein</span></a> menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-certain-5"><span style="color:#000000;">[6]</span></a></sup><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sejarah_Matematika&action=edit&redlink=1" title="Sejarah Matematika (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">rekaman tertulis</span></a>. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika" title="Logika"><span style="color:#000000;">Argumentasi kaku</span></a> pertama muncul di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_Yunani&action=edit&redlink=1" title="Matematika Yunani (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Matematika Yunani</span></a>, terutama di dalam karya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Euklides" title="Euklides"><span style="color:#000000;">Euklides</span></a>, <i><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Elemen_Euklides" title="Elemen Euklides"><span style="color:#000000;">Elemen</span></a></i>. Matematika selalu berkembang, misalnya di <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Cina" title="Cina"><span style="color:#000000;">Cina</span></a> pada tahun 300 <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sebelum_Masehi" title="Sebelum Masehi"><span style="color:#000000;">SM</span></a>, di <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/India" title="India"><span style="color:#000000;">India</span></a> pada tahun 100 <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Masehi" title="Masehi"><span style="color:#000000;">M</span></a>, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Renaisans" title="Renaisans"><span style="color:#000000;">Renaisans</span></a>, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Penemuan_ilmiah&action=edit&redlink=1" title="Penemuan ilmiah (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">penemuan ilmiah</span></a> baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-6"><span style="color:#000000;">[7]</span></a></sup><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_pengetahuan_alam" title="Ilmu pengetahuan alam"><span style="color:#000000;">ilmu pengetahuan alam</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Rekayasa" title="Rekayasa"><span style="color:#000000;">rekayasa</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Medis" title="Medis"><span style="color:#000000;">medis</span></a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_sosial" title="Ilmu sosial"><span style="color:#000000;">ilmu sosial</span></a> seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomi" title="Ekonomi"><span style="color:#000000;">ekonomi</span></a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Psikologi" title="Psikologi"><span style="color:#000000;">psikologi</span></a>. <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_terapan&action=edit&redlink=1" title="Matematika terapan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Matematika terapan</span></a>, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Statistika" title="Statistika"><span style="color:#000000;">statistika</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_permainan" title="Teori permainan"><span style="color:#000000;">teori permainan</span></a>. <st1:place st="on">Para</st1:place> matematikawan juga bergulat di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_murni" title="Matematika murni"><span style="color:#000000;">matematika murni</span></a>, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-7"><span style="color:#000000;">[8]</span></a></sup><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><h2 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span class="mw-headline" style="font-size:85%;">Etimologi</span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></h2><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Kata "matematika" berasal dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Yunani_Kuno" title="Bahasa Yunani Kuno"><span style="color:#000000;">bahasa Yunani Kuno</span></a> μάθημα (<i>máthēma</i>), yang berarti <i>pengkajian</i>, <i>pembelajaran</i>, <i>ilmu</i>, yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah μαθηματικός (<i>mathēmatikós</i>), <i>berkaitan dengan pengkajian</i>, atau <i>tekun belajar</i>, yang lebih jauhnya berarti <i>matematis</i>. Secara khusus, </span><span class="polytonic" style="font-size:85%;"><span style=";font-family:";" >μαθηματικὴ τέχνη</span></span><span style="font-size:85%;"> (<i>mathēmatikḗ tékhnē</i>), di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latin" title="Bahasa Latin"><span style="color:#000000;">bahasa Latin</span></a> <i>ars mathematica</i>, berarti <i>seni matematika</i>.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Bentuk jamak sering dipakai di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Inggris" title="Bahasa Inggris"><span style="color:#000000;">bahasa Inggris</span></a>, seperti juga di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Perancis" title="Bahasa Perancis"><span style="color:#000000;">bahasa Perancis</span></a> <i>les mathématiques</i> (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal <i>la mathématique</i>), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral <i>mathematica</i> (<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Cicero" title="Cicero"><span style="color:#000000;">Cicero</span></a>), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (<i>ta mathēmatiká</i>), yang dipakai <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aristotle" title="Aristotle"><span style="color:#000000;">Aristotle</span></a>, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-8"><span style="color:#000000;">[9]</span></a></sup> Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda <i>mathematics</i> mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai <i>math</i> di Amerika Utara dan <i>maths</i> di tempat lain.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><h2 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span class="mw-headline" style="font-size:85%;">Sejarah</span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></h2><div style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p>
<br /></span></div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Sebuah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Quipu" title="Quipu"><span style="color:#000000;">quipu</span></a>, yang dipakai oleh <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kekaisaran_Inca" title="Kekaisaran Inca"><span style="color:#000000;">Inca</span></a> untuk mencatatkan bilangan.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1028" type="#_x0000_t75" alt="!" style="'width:15pt;height:15pt'"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image004.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Crystal_Clear_app_xmag.png/20px-Crystal_Clear_app_xmag.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->Artikel utama untuk bagian ini adalah: <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sejarah_matematika&action=edit&redlink=1" title="Sejarah matematika (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Sejarah matematika</span></a><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Evolusi" title="Evolusi"><span style="color:#000000;">Evolusi</span></a> matematika dapat dipandang sebagai sederetan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Abstraksi_%28matematika%29" title="Abstraksi (matematika)"><span style="color:#000000;">abstraksi</span></a> yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi pertama, yang dibagi oleh banyak binatang<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-9"><span style="color:#000000;">[10]</span></a></sup>, adalah tentang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan" title="Bilangan"><span style="color:#000000;">bilangan</span></a>: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Selain mengetahui cara <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pencacahan" title="Pencacahan"><span style="color:#000000;">mencacah</span></a> objek-objek <i>fisika</i>, manusia <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Prasejarah" title="Prasejarah"><span style="color:#000000;">prasejarah</span></a> juga mengenali cara mencacah besaran <i>abstrak</i>, seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Waktu" title="Waktu"><span style="color:#000000;">waktu</span></a> — <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Hari" title="Hari"><span style="color:#000000;">hari</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Musim" title="Musim"><span style="color:#000000;">musim</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Tahun" title="Tahun"><span style="color:#000000;">tahun</span></a>. <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aritmetika_dasar&action=edit&redlink=1" title="Aritmetika dasar (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Aritmetika dasar</span></a> (<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Penjumlahan" title="Penjumlahan"><span style="color:#000000;">penjumlahan</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pengurangan" title="Pengurangan"><span style="color:#000000;">pengurangan</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Perkalian" title="Perkalian"><span style="color:#000000;">perkalian</span></a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembagian&action=edit&redlink=1" title="Pembagian (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">pembagian</span></a>) mengikuti secara alami.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Langkah selanjutnya memerlukan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Menulis" title="Menulis"><span style="color:#000000;">penulisan</span></a> atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tali&action=edit&redlink=1" title="Tali (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">tali</span></a> atau dawai bersimpul yang disebut <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Quipu" title="Quipu"><span style="color:#000000;">quipu</span></a> dipakai oleh bangsa <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Inca" title="Inca"><span style="color:#000000;">Inca</span></a> untuk menyimpan data numerik. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_bilangan" title="Sistem bilangan"><span style="color:#000000;">Sistem bilangan</span></a> ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mesir_Kuno" title="Mesir Kuno"><span style="color:#000000;">Mesir Kuno</span></a> di <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kerajaan_Tengah_Mesir&action=edit&redlink=1" title="Kerajaan Tengah Mesir (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Kerajaan Tengah Mesir</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lembaran_Matematika_Rhind&action=edit&redlink=1" title="Lembaran Matematika Rhind (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Lembaran Matematika Rhind</span></a>.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Maya.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1029" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:135pt;height:156pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image006.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Maya.svg/180px-Maya.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]-->
<br /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Maya.svg" title="Perbesar"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1030" type="#_x0000_t75" alt="" title=""Perbesar"" style="'width:11.25pt;height:8.25pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image008.gif" href="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]-->
<br /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_bilangan_Maya&action=edit&redlink=1" title="Sistem bilangan Maya (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Sistem bilangan Maya</span></a><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Perdagangan" title="Perdagangan"><span style="color:#000000;">perdagangan</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pengukuran_tanah" title="Pengukuran tanah"><span style="color:#000000;">pengukuran tanah</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Lukisan" title="Lukisan"><span style="color:#000000;">pelukisan</span></a>, dan pola-pola <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Menenun" title="Menenun"><span style="color:#000000;">penenunan</span></a> dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Babilonia" title="Babilonia"><span style="color:#000000;">Babilonia</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mesir_Kuno" title="Mesir Kuno"><span style="color:#000000;">Mesir Kuno</span></a> mulai menggunakan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika"><span style="color:#000000;">aritmetika</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar" title="Aljabar"><span style="color:#000000;">aljabar</span></a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri"><span style="color:#000000;">geometri</span></a> untuk penghitungan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pajak" title="Pajak"><span style="color:#000000;">pajak</span></a> dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Astronomi" title="Astronomi"><span style="color:#000000;">astronomi</span></a>.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-10"><span style="color:#000000;">[11]</span></a></sup> Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sains" title="Sains"><span style="color:#000000;">sains</span></a>, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bulletin_of_the_American_Mathematical_Society&action=edit&redlink=1" title="Bulletin of the American Mathematical Society (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Bulletin of the American Mathematical Society</span></a>, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1" title="Mathematical Reviews (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Mathematical Reviews</span></a> sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema" title="Teorema"><span style="color:#000000;">teorema</span></a> matematika baru beserta <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pembuktian_Matematika" title="Pembuktian Matematika"><span style="color:#000000;">bukti-buktinya</span></a>."<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-11"><span style="color:#000000;">[12]</span></a></sup><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><h2 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span class="mw-headline" style="font-size:85%;">Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika</span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></h2><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1031" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:135pt;height:185.25pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image009.jpg" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg/180px-GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]-->
<br /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Sir <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton"><span style="color:#000000;">Isaac Newton</span></a> (1643-1727), seorang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Penemu" title="Penemu"><span style="color:#000000;">penemu</span></a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus"><span style="color:#000000;">kalkulus infinitesimal</span></a>.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1032" type="#_x0000_t75" alt="!" style="'width:15pt;height:15pt'"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image004.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Crystal_Clear_app_xmag.png/20px-Crystal_Clear_app_xmag.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->Artikel utama untuk bagian ini adalah: <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Keindahan_matematika&action=edit&redlink=1" title="Keindahan matematika (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Keindahan matematika</span></a><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Perdagangan" title="Perdagangan"><span style="color:#000000;">perdagangan</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pengukuran_tanah" title="Pengukuran tanah"><span style="color:#000000;">pengukuran tanah</span></a>, dan kemudian <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Astronomi" title="Astronomi"><span style="color:#000000;">astronomi</span></a>; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fisikawan" title="Fisikawan"><span style="color:#000000;">fisikawan</span></a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman"><span style="color:#000000;">Richard Feynman</span></a> menemukan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rumus_integral_lintasan&action=edit&redlink=1" title="Rumus integral lintasan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">rumus integral lintasan</span></a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantum" title="Mekanika kuantum"><span style="color:#000000;">mekanika kuantum</span></a> menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_dawai" title="Teori dawai"><span style="color:#000000;">teori dawai</span></a> masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Interaksi_dasar" title="Interaksi dasar"><span style="color:#000000;">gaya dasar alami</span></a>, terus saja mengilhami matematika baru.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-12"><span style="color:#000000;">[13]</span></a></sup> Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Eugene_Wigner" title="Eugene Wigner"><span style="color:#000000;">Eugene Wigner</span></a> memanggilnya sebagai "<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ketidakefektifan_Matematika_tak_ternalar_di_dalam_Ilmu_Pengetahuan_Alam&action=edit&redlink=1" title="Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam</span></a>".<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-13"><span style="color:#000000;">[14]</span></a></sup><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_murni" title="Matematika murni"><span style="color:#000000;">matematika murni</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_terapan&action=edit&redlink=1" title="Matematika terapan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">matematika terapan</span></a>: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sarjana" title="Sarjana"><span style="color:#000000;">sarjana</span></a> mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Statistika" title="Statistika"><span style="color:#000000;">statistika</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Riset_operasi" title="Riset operasi"><span style="color:#000000;">riset operasi</span></a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_komputer" title="Ilmu komputer"><span style="color:#000000;">ilmu komputer</span></a>.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang <i>keanggunan</i> matematika, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Estetika" title="Estetika"><span style="color:#000000;">estetika</span></a> yang tersirat, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Keindahan" title="Keindahan"><span style="color:#000000;">keindahan</span></a> dari dalamnya. <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kesederhanaan&action=edit&redlink=1" title="Kesederhanaan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Kesederhanaan</span></a> dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Bukti (matematika) (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">bukti</span></a> yang diberikan, semisal bukti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Euclid" title="Euclid"><span style="color:#000000;">Euclid</span></a> yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_prima" title="Bilangan prima"><span style="color:#000000;">bilangan prima</span></a>, dan di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Metode_numerik&action=edit&redlink=1" title="Metode numerik (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">metode numerik</span></a> yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Transformasi_Fourier_cepat" title="Transformasi Fourier cepat"><span style="color:#000000;">transformasi Fourier cepat</span></a>. <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=G._H._Hardy&action=edit&redlink=1" title="G. H. Hardy (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">G. H. Hardy</span></a> di dalam <i><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=A_Mathematician%27s_Apology&action=edit&redlink=1" title="A Mathematician's Apology (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">A Mathematician's Apology</span></a></i> mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-14"><span style="color:#000000;">[15]</span></a></sup> Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Paul_Erd%C5%91s&action=edit&redlink=1" title="Paul Erdős (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Paul Erdős</span></a> sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Alkitab" title="Alkitab"><span style="color:#000000;">Alkitab</span></a>" di mana <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Tuhan" title="Tuhan"><span style="color:#000000;">Tuhan</span></a> telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-15"><span style="color:#000000;">[16]</span></a><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-16"><span style="color:#000000;">[17]</span></a></sup> Kepopularan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_rekreasi&action=edit&redlink=1" title="Matematika rekreasi (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">matematika rekreasi</span></a> adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><h2 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span class="mw-headline" style="font-size:85%;">Notasi, bahasa, dan kekakuan</span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></h2><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Leonhard_Euler_2.jpg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1033" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:135pt;height:168.75pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image010.jpg" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Leonhard_Euler_2.jpg/180px-Leonhard_Euler_2.jpg"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]-->
<br /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><o:p> </o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1034" type="#_x0000_t75" alt="!" style="'width:15pt;height:15pt'"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image004.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Crystal_Clear_app_xmag.png/20px-Crystal_Clear_app_xmag.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->Artikel utama untuk bagian ini adalah: <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Notasi_matematika" title="Notasi matematika"><span style="color:#000000;">Notasi matematika</span></a><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-17"><span style="color:#000000;">[18]</span></a></sup> Pada abad ke-18, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler"><span style="color:#000000;">Euler</span></a> bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi modern membuat matematika lebih mudah bagi para profesional, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Notasi_musik" title="Notasi musik"><span style="color:#000000;">notasi musik</span></a>, notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa" title="Bahasa"><span style="color:#000000;">Bahasa</span></a> matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti <i>atau</i> dan <i>hanya</i> memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal <i><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Himpunan_terbuka&action=edit&redlink=1" title="Himpunan terbuka (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">terbuka</span></a></i> dan <i><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Lapangan_%28matematika%29" title="Lapangan (matematika)"><span style="color:#000000;">lapangan</span></a></i> memberikan arti khusus matematika. <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Jargon_matematika&action=edit&redlink=1" title="Jargon matematika (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Jargon matematika</span></a> termasuk istilah-istilah teknis semisal <i><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Homomorfisme&action=edit&redlink=1" title="Homomorfisme (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">homomorfisme</span></a></i> dan <i><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Keterintegralan&action=edit&redlink=1" title="Keterintegralan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">terintegralkan</span></a></i>. Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. <st1:place st="on">Para</st1:place> matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "kaku" (<i>rigor</i>).<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Infinity_symbol.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1035" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:135pt;height:153pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image011.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Infinity_symbol.svg/180px-Infinity_symbol.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]-->
<br /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Infinity_symbol.svg" title="Perbesar"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1026" type="#_x0000_t75" alt="" title=""Perbesar"" style="'width:11.25pt;height:8.25pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image008.gif" href="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]-->
<br /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Lambang <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ketakhinggaan&action=edit&redlink=1" title="Ketakhinggaan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">ketakhinggaan</span></a> ∞ di dalam beberapa <st1:city st="on"><st1:place st="on">gaya</st1:place></st1:city> sajian.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kaku&action=edit&redlink=1" title="Kaku (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Kaku</span></a> secara mendasar adalah tentang <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti_matematika&action=edit&redlink=1" title="Bukti matematika (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">bukti matematika</span></a>. <st1:place st="on">Para</st1:place> matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema" title="Teorema"><span style="color:#000000;">teorema</span></a>" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-18"><span style="color:#000000;">[19]</span></a></sup> Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bangsa_Yunani" title="Bangsa Yunani"><span style="color:#000000;">bangsa Yunani</span></a> menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton"><span style="color:#000000;">Isaac Newton</span></a> kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan <st1:city st="on"><st1:place st="on">Newton</st1:place></st1:city> akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti_berbantuan-komputer&action=edit&redlink=1" title="Bukti berbantuan-komputer (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">bukti berbantuan-komputer</span></a>. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-19"><span style="color:#000000;">[20]</span></a></sup><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aksioma" title="Aksioma"><span style="color:#000000;">Aksioma</span></a> menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Logika_simbolik&action=edit&redlink=1" title="Logika simbolik (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">lambang</span></a>, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_aksioma&action=edit&redlink=1" title="Sistem aksioma (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">sistem aksioma</span></a>. Inilah tujuan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Program_Hilbert&action=edit&redlink=1" title="Program Hilbert (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">program Hilbert</span></a> untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_ketaklengkapan_G%C3%B6del&action=edit&redlink=1" title="Teorema ketaklengkapan Gödel (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Teorema ketaklengkapan Gödel</span></a> tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kebebasan_%28logika_matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Kebebasan (logika matematika) (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">tidak dapat ditentukan</span></a>; dan oleh karena itulah suatu <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aksiomatisasi&action=edit&redlink=1" title="Aksiomatisasi (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">aksiomatisasi</span></a> terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan"><span style="color:#000000;">teori himpunan</span></a> di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-20"><span style="color:#000000;">[21]</span></a></sup><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><h2 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span class="mw-headline" style="font-size:85%;">Matematika sebagai ilmu pengetahuan</span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></h2><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Carl_Friedrich_Gauss.jpg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1036" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:135pt;height:173.25pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image013.jpg" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg/180px-Carl_Friedrich_Gauss.jpg"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]-->
<br /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><o:p> </o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss"><span style="color:#000000;">Carl Friedrich Gauss</span></a>, menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss"><span style="color:#000000;">Carl Friedrich Gauss</span></a> mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-21"><span style="color:#000000;">[22]</span></a></sup> Di dalam bahasa aslinya, Latin <i>Regina Scientiarum</i>, juga di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Jerman" title="Bahasa Jerman"><span style="color:#000000;">bahasa Jerman</span></a> <i>Königin der Wissenschaften</i>, kata yang bersesuaian dengan <i>ilmu pengetahuan</i> berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan <i>alam</i> adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_pengetahuan" title="Ilmu pengetahuan"><span style="color:#000000;">ilmu pengetahuan</span></a> hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_murni" title="Matematika murni"><span style="color:#000000;">matematika murni</span></a>, bukanlah ilmu pengetahuan. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein"><span style="color:#000000;">Albert Einstein</span></a> menyatakan bahwa <i>"sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.</i>"<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-certain-5"><span style="color:#000000;">[6]</span></a></sup><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Keterpalsuan&action=edit&redlink=1" title="Keterpalsuan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">terpalsukan</span></a> berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Karl_Popper" title="Karl Popper"><span style="color:#000000;">Karl Popper</span></a>.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-22"><span style="color:#000000;">[23]</span></a></sup> Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fisika" title="Fisika"><span style="color:#000000;">fisika</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Biologi" title="Biologi"><span style="color:#000000;">biologi</span></a>, adalah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Hipotesis" title="Hipotesis"><span style="color:#000000;">hipotetis</span></a>-<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deduktif&action=edit&redlink=1" title="Deduktif (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">deduktif</span></a>: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru."<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-23"><span style="color:#000000;">[24]</span></a></sup> <st1:place st="on">Para</st1:place> bijak bestari lainnya, sebut saja <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Imre_Lakatos&action=edit&redlink=1" title="Imre Lakatos (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Imre Lakatos</span></a>, telah menerapkan satu versi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pemalsuan" title="Pemalsuan"><span style="color:#000000;">pemalsuan</span></a> kepada matematika itu sendiri.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fisika_teoretis" title="Fisika teoretis"><span style="color:#000000;">fisika teoretis</span></a>) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=J._M._Ziman&action=edit&redlink=1" title="J. M. Ziman (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">J. M. Ziman</span></a>, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah <i>pengetahuan umum</i> dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-24"><span style="color:#000000;">[25]</span></a></sup> Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Intuisi_%28pengetahuan%29&action=edit&redlink=1" title="Intuisi (pengetahuan) (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Intuisi</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Percobaan" title="Percobaan"><span style="color:#000000;">percobaan</span></a> juga berperan penting di dalam perumusan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Konjektur" title="Konjektur"><span style="color:#000000;">konjektur</span></a>-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya). <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_percobaan&action=edit&redlink=1" title="Matematika percobaan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Matematika percobaan</span></a> terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Metode_ilmiah" title="Metode ilmiah"><span style="color:#000000;">metode ilmiah</span></a>. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 <i><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=A_New_Kind_of_Science&action=edit&redlink=1" title="A New Kind of Science (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">A New Kind of Science</span></a></i>, <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Stephen_Wolfram&action=edit&redlink=1" title="Stephen Wolfram (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Stephen Wolfram</span></a> berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Empirik" title="Empirik"><span style="color:#000000;">empirik</span></a> sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Seni_liberal&action=edit&redlink=1" title="Seni liberal (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">seni liberal</span></a> tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Rekayasa" title="Rekayasa"><span style="color:#000000;">rekayasa</span></a> telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika. Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika <i>diciptakan</i> (seperti di dalam seni) atau <i>ditemukan</i> (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Universitas" title="Universitas"><span style="color:#000000;">universitas</span></a> bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen <i>Ilmu Pengetahuan dan Matematika</i>, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Filsafat_matematika" title="Filsafat matematika"><span style="color:#000000;">filsafat matematika</span></a>.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fields_Medal&action=edit&redlink=1" title="Fields Medal (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Fields Medal</span></a> (medali lapangan),<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-25"><span style="color:#000000;">[26]</span></a><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-26"><span style="color:#000000;">[27]</span></a></sup> dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Hadiah_Nobel" title="Hadiah Nobel"><span style="color:#000000;">Hadiah Nobel</span></a> ilmu pengetahuan. <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Wolf_Prize_in_Mathematics&action=edit&redlink=1" title="Wolf Prize in Mathematics (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Wolf Prize in Mathematics</span></a>, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hadiah_Abel&action=edit&redlink=1" title="Hadiah Abel (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Hadiah Abel</span></a>, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan. Sebuah daftar terkenal berisikan 23 <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Masalah_terbuka" title="Masalah terbuka"><span style="color:#000000;">masalah terbuka</span></a>, yang disebut "<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Masalah_Hilbert&action=edit&redlink=1" title="Masalah Hilbert (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">masalah Hilbert</span></a>", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert" title="David Hilbert"><span style="color:#000000;">David Hilbert</span></a>. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan. Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Masalah_Hadiah_Milenium&action=edit&redlink=1" title="Masalah Hadiah Milenium (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Masalah Hadiah Milenium</span></a>", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Dollar_Amerika_Serikat" title="Dollar Amerika Serikat"><span style="color:#000000;">US$</span></a> 1 juta, dan hanya satu (<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hipotesis_Riemann&action=edit&redlink=1" title="Hipotesis Riemann (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">hipotesis Riemann</span></a>) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><h2 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span class="mw-headline" style="font-size:85%;">Bidang-bidang matematika</span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></h2><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Abacus_6.png"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1037" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:135pt;height:79.5pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image014.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Abacus_6.png/180px-Abacus_6.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image015.gif" shapes="_x0000_i1037" width="180" border="0" height="106" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Abacus_6.png" title="Perbesar"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1038" type="#_x0000_t75" alt="" title=""Perbesar"" style="'width:11.25pt;height:8.25pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image008.gif" href="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif" shapes="_x0000_i1038" width="15" border="0" height="11" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Sebuah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sempoa" title="Sempoa"><span style="color:#000000;">sempoa</span></a>, alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Astronomi" title="Astronomi"><span style="color:#000000;">astronomi</span></a>. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika"><span style="color:#000000;">aritmetika</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar" title="Aljabar"><span style="color:#000000;">aljabar</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri"><span style="color:#000000;">geometri</span></a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematika" title="Analisis matematika"><span style="color:#000000;">analisis</span></a>). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika" title="Logika matematika"><span style="color:#000000;">logika</span></a>, ke <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan"><span style="color:#000000;">teori himpunan</span></a> (<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Dasar-dasar_matematika&action=edit&redlink=1" title="Dasar-dasar matematika (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">dasar</span></a>), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_terapan&action=edit&redlink=1" title="Matematika terapan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">matematika terapan</span></a>), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ketakpastian&action=edit&redlink=1" title="Ketakpastian (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">ketakpastian</span></a>.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><h3 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span class="mw-headline" style="font-size:85%;">Besaran</span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></h3><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Pengkajian besaran dimulakan dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan" title="Bilangan"><span style="color:#000000;">bilangan</span></a>, pertama <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_asli" title="Bilangan asli"><span style="color:#000000;">bilangan asli</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulat" title="Bilangan bulat"><span style="color:#000000;">bilangan bulat</span></a> ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika"><span style="color:#000000;">aritmetika</span></a>. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_bilangan" title="Teori bilangan"><span style="color:#000000;">teori bilangan</span></a>, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Terakhir_Fermat" title="Teorema Terakhir Fermat"><span style="color:#000000;">Teorema Terakhir Fermat</span></a>. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konjektur_prima_kembar&action=edit&redlink=1" title="Konjektur prima kembar (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">konjektur prima kembar</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Konjektur_Goldbach" title="Konjektur Goldbach"><span style="color:#000000;">konjektur Goldbach</span></a>.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Himpunan_bagian&action=edit&redlink=1" title="Himpunan bagian (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">himpunan bagian</span></a> dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_rasional" title="Bilangan rasional"><span style="color:#000000;">bilangan rasional</span></a> ("<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pecahan_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Pecahan (matematika) (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">pecahan</span></a>"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_real" title="Bilangan real"><span style="color:#000000;">bilangan real</span></a>, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_kontinu" title="Fungsi kontinu"><span style="color:#000000;">kontinu</span></a>. Bilangan real diperumum menjadi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks" title="Bilangan kompleks"><span style="color:#000000;">bilangan kompleks</span></a>. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kuarternion&action=edit&redlink=1" title="Kuarternion (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">kuarternion</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Oktonion&action=edit&redlink=1" title="Oktonion (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">oktonion</span></a>. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan_transfinit&action=edit&redlink=1" title="Bilangan transfinit (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">bilangan transfinit</span></a>, yang memformalkan konsep pencacahan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ketakhinggaan&action=edit&redlink=1" title="Ketakhinggaan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">ketakhinggaan</span></a>. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan_kardinal&action=edit&redlink=1" title="Bilangan kardinal (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">bilangan kardinal</span></a> dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan_aleph&action=edit&redlink=1" title="Bilangan aleph (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">bilangan aleph</span></a>, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><table class="MsoNormalTable" style="margin-left: 0px; border: 1pt solid rgb(221, 221, 221); width: 632px; height: 143px; text-align: left; margin-right: 0px;" border="1" cellpadding="0" cellspacing="20"> <tbody><tr style=""> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt; text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">
<br /></span></td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"><span style="font-size:85%;">
<br /></span></td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"><span style="font-size:85%;">
<br /></span></td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"><span style="font-size:85%;">
<br /></span></td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"><span style="font-size:85%;">
<br /></span></td></tr><tr style=""><td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"><span style="font-size:85%;">
<br /></span></td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"><span style="font-size:85%;">
<br /></span></td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"><span style="font-size:85%;">
<br /></span></td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"><span style="font-size:85%;">
<br /></span></td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"><span style="font-size:85%;">
<br /></span></td> </tr> </tbody></table><div style="text-align: justify;"> </div><h3 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span class="mw-headline" style="font-size:85%;">Ruang</span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></h3><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Pengkajian ruang bermula dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri"><span style="color:#000000;">geometri</span></a> – khususnya, <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_euclid&action=edit&redlink=1" title="Geometri euclid (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">geometri euclid</span></a>. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Trigonometri" title="Trigonometri"><span style="color:#000000;">Trigonometri</span></a> memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_pitagoras&action=edit&redlink=1" title="Teorema pitagoras (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Teorema pitagoras</span></a> yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_tak-euclid&action=edit&redlink=1" title="Geometri tak-euclid (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">geometri tak-euclid</span></a> (yang berperan penting di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Relativitas_umum" title="Relativitas umum"><span style="color:#000000;">relativitas umum</span></a>) dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Topologi" title="Topologi"><span style="color:#000000;">topologi</span></a>. Besaran dan ruang berperan penting di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_analitik&action=edit&redlink=1" title="Geometri analitik (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">geometri analitik</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_diferensial&action=edit&redlink=1" title="Geometri diferensial (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">geometri diferensial</span></a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_aljabar&action=edit&redlink=1" title="Geometri aljabar (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">geometri aljabar</span></a>. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Buntelan_serat&action=edit&redlink=1" title="Buntelan serat (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">buntelan serat</span></a> dan kalkulus <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lipatan&action=edit&redlink=1" title="Lipatan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">lipatan</span></a>. Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinom&action=edit&redlink=1" title="Polinom (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">polinom</span></a>, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup_topologi&action=edit&redlink=1" title="Grup topologi (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">grup topologi</span></a>, yang memadukan struktur dan ruang. <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup_lie&action=edit&redlink=1" title="Grup lie (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Grup lie</span></a> biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Topologi" title="Topologi"><span style="color:#000000;">Topologi</span></a> di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konjektur_poincar%C3%A9&action=edit&redlink=1" title="Konjektur poincaré (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">konjektur poincaré</span></a> yang telah lama ada dan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_empat_warna&action=edit&redlink=1" title="Teorema empat warna (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">teorema empat warna</span></a>, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><table class="MsoNormalTable" style="margin-left: 0px; border: 1pt solid rgb(221, 221, 221); text-align: left; margin-right: 0px;" border="1" cellpadding="0" cellspacing="15"> <tbody><tr style=""> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Illustration_to_Euclid%27s_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1044" type="#_x0000_t75" alt="Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg" style="'width:1in;height:78pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image021.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Illustration_to_Euclid%27s_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg/96px-Illustration_to_Euclid%27s_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image022.gif" alt="Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg" shapes="_x0000_i1044" width="96" border="0" height="104" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Sine_cosine_plot.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1045" type="#_x0000_t75" alt="Sine cosine plot.svg" style="'width:1in;" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image023.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Sine_cosine_plot.svg/96px-Sine_cosine_plot.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image024.gif" alt="Sine cosine plot.svg" shapes="_x0000_i1045" width="96" border="0" height="64" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Hyperbolic_triangle.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1046" type="#_x0000_t75" alt="Hyperbolic triangle.svg" style="'width:1in;" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image025.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/Hyperbolic_triangle.svg/96px-Hyperbolic_triangle.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image026.gif" alt="Hyperbolic triangle.svg" shapes="_x0000_i1046" width="96" border="0" height="64" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Torus.png"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1047" type="#_x0000_t75" alt="Torus.png" style="'width:1in;height:45.75pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image027.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Torus.png/96px-Torus.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image028.gif" alt="Torus.png" shapes="_x0000_i1047" width="96" border="0" height="61" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Mandel_zoom_07_satellite.jpg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1048" type="#_x0000_t75" alt="Mandel zoom 07 satellite.jpg" style="'width:1in;height:54pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image029.jpg" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Mandel_zoom_07_satellite.jpg/96px-Mandel_zoom_07_satellite.jpg"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image029.jpg" alt="Mandel zoom 07 satellite.jpg" shapes="_x0000_i1048" width="96" border="0" height="72" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> </tr> <tr style=""> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri"><span style="color:#000000;">Geometri</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Trigonometri" title="Trigonometri"><span style="color:#000000;">Trigonometri</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_diferensial&action=edit&redlink=1" title="Geometri diferensial (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Geometri diferensial</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Topologi" title="Topologi"><span style="color:#000000;">Topologi</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fraktal" title="Fraktal"><span style="color:#000000;">Geometri fraktal</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> </tr> </tbody></table><div style="text-align: justify;"> </div><h3 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span class="mw-headline" style="font-size:85%;">Perubahan</span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></h3><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_pengetahuan_alam" title="Ilmu pengetahuan alam"><span style="color:#000000;">ilmu pengetahuan alam</span></a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus"><span style="color:#000000;">kalkulus</span></a> telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29" title="Fungsi (matematika)"><span style="color:#000000;">Fungsi-fungsi</span></a> muncul di sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_real" title="Bilangan real"><span style="color:#000000;">bilangan real</span></a> dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_real&action=edit&redlink=1" title="Analisis real (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">analisis real</span></a>, dengan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_kompleks&action=edit&redlink=1" title="Analisis kompleks (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">analisis kompleks</span></a> lapangan yang setara untuk <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks" title="Bilangan kompleks"><span style="color:#000000;">bilangan kompleks</span></a>. <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hipotesis_Riemann&action=edit&redlink=1" title="Hipotesis Riemann (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Hipotesis Riemann</span></a>, salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_fungsional&action=edit&redlink=1" title="Analisis fungsional (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Analisis fungsional</span></a> memusatkan perhatian pada <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ruang" title="Ruang"><span style="color:#000000;">ruang</span></a> fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantum" title="Mekanika kuantum"><span style="color:#000000;">mekanika kuantum</span></a>. Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial" title="Persamaan diferensial"><span style="color:#000000;">persamaan diferensial</span></a>. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_dinamika&action=edit&redlink=1" title="Sistem dinamika (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">sistem dinamika</span></a>; <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_kekacauan&action=edit&redlink=1" title="Teori kekacauan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">teori kekacauan</span></a> mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_deterministik_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Sistem deterministik (matematika) (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">deterministik</span></a> yang masih saja belum terdugakan.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><table class="MsoNormalTable" style="border: 1pt solid rgb(221, 221, 221); text-align: left; margin-left: 0px; margin-right: 0px;" border="1" cellpadding="0" cellspacing="20"> <tbody><tr style=""> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Integral_as_region_under_curve.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1049" type="#_x0000_t75" alt="Integral as region under curve.svg" style="'width:1in;height:63pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image030.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Integral_as_region_under_curve.svg/96px-Integral_as_region_under_curve.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image031.gif" alt="Integral as region under curve.svg" shapes="_x0000_i1049" width="96" border="0" height="84" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Vector_field.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1050" type="#_x0000_t75" alt="Vector field.svg" style="'width:1in;" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image032.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Vector_field.svg/96px-Vector_field.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif" alt="Vector field.svg" shapes="_x0000_i1050" width="96" border="0" height="96" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Airflow-Obstructed-Duct.png"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1051" type="#_x0000_t75" alt="Airflow-Obstructed-Duct.png" style="'width:1in;height:51.75pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image034.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Airflow-Obstructed-Duct.png/96px-Airflow-Obstructed-Duct.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image035.gif" alt="Airflow-Obstructed-Duct.png" shapes="_x0000_i1051" width="96" border="0" height="69" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Limitcycle.jpg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1052" type="#_x0000_t75" alt="Limitcycle.jpg" style="'width:1in;" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image036.jpg" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Limitcycle.jpg/96px-Limitcycle.jpg"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image036.jpg" alt="Limitcycle.jpg" shapes="_x0000_i1052" width="96" border="0" height="72" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Lorenz_attractor.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1053" type="#_x0000_t75" alt="Lorenz attractor.svg" style="'width:1in;" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image037.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Lorenz_attractor.svg/96px-Lorenz_attractor.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image038.gif" alt="Lorenz attractor.svg" shapes="_x0000_i1053" width="96" border="0" height="96" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Princ_argument_ex1.png"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1054" type="#_x0000_t75" alt="Princ argument ex1.png" style="'width:1in;" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image039.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/09/Princ_argument_ex1.png/96px-Princ_argument_ex1.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image040.gif" alt="Princ argument ex1.png" shapes="_x0000_i1054" width="96" border="0" height="75" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> </tr> <tr style=""> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus"><span style="color:#000000;">Kalkulus</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_vektor" title="Kalkulus vektor"><span style="color:#000000;">Kalkulus vektor</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial" title="Persamaan diferensial"><span style="color:#000000;">Persamaan diferensial</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_dinamika&action=edit&redlink=1" title="Sistem dinamika (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Sistem dinamika</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_chaos" title="Teori chaos"><span style="color:#000000;">Teori chaos</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_kompleks&action=edit&redlink=1" title="Analisis kompleks (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Analisis kompleks</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> </tr> </tbody></table><div style="text-align: justify;"> </div><h3 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span class="mw-headline" style="font-size:85%;">Struktur</span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></h3><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Banyak objek matematika, semisal <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_%28matematika%29" title="Himpunan (matematika)"><span style="color:#000000;">himpunan</span></a> bilangan dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29" title="Fungsi (matematika)"><span style="color:#000000;">fungsi</span></a>, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Grup_%28matematika%29" title="Grup (matematika)"><span style="color:#000000;">grup</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gelanggang_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Gelanggang (matematika) (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">gelanggang</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Lapangan_%28matematika%29" title="Lapangan (matematika)"><span style="color:#000000;">lapangan</span></a> dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_abstrak" title="Aljabar abstrak"><span style="color:#000000;">aljabar abstrak</span></a>. Sebuah konsep penting di sini yakni <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Vektor_%28geometri%29&action=edit&redlink=1" title="Vektor (geometri) (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">vektor</span></a>, diperumum menjadi <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ruang_vektor&action=edit&redlink=1" title="Ruang vektor (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">ruang vektor</span></a>, dan dikaji di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear" title="Aljabar linear"><span style="color:#000000;">aljabar linear</span></a>. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_vektor" title="Kalkulus vektor"><span style="color:#000000;">Kalkulus vektor</span></a> memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus_tensor&action=edit&redlink=1" title="Kalkulus tensor (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Kalkulus tensor</span></a> mengkaji <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kesetangkupan" title="Kesetangkupan"><span style="color:#000000;">kesetangkupan</span></a> dan perilaku vektor yang di<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Rotasi" title="Rotasi"><span style="color:#000000;">rotasi</span></a>. Sejumlah masalah kuno tentang <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kompas_dan_konstruksi_garis_lurus&action=edit&redlink=1" title="Kompas dan konstruksi garis lurus (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Kompas dan konstruksi garis lurus</span></a> akhirnya terpecahkan oleh <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_galois&action=edit&redlink=1" title="Teori galois (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Teori galois</span></a>.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><table class="MsoNormalTable" style="margin-left: 0px; border: 1pt solid rgb(221, 221, 221); text-align: left; margin-right: 0px;" border="1" cellpadding="0" cellspacing="15"> <tbody><tr style=""> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Elliptic_curve_simple.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1055" type="#_x0000_t75" alt="Elliptic curve simple.svg" style="'width:1in;height:80.25pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image041.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Elliptic_curve_simple.svg/96px-Elliptic_curve_simple.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image042.gif" alt="Elliptic curve simple.svg" shapes="_x0000_i1055" width="96" border="0" height="107" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Rubik%27s_cube.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1056" type="#_x0000_t75" alt="Rubik's cube.svg" style="'width:1in;" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image043.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%27s_cube.svg/96px-Rubik%27s_cube.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image044.gif" alt="Rubik's cube.svg" shapes="_x0000_i1056" width="96" border="0" height="100" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Group_diagdram_D6.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1057" type="#_x0000_t75" alt="Group diagdram D6.svg" style="'width:1in;" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image045.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Group_diagdram_D6.svg/96px-Group_diagdram_D6.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image046.gif" alt="Group diagdram D6.svg" shapes="_x0000_i1057" width="96" border="0" height="96" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1058" type="#_x0000_t75" alt="Lattice of the divisibility of 60.svg" style="'width:1in;height:57.75pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image047.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg/96px-Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image048.gif" alt="Lattice of the divisibility of 60.svg" shapes="_x0000_i1058" width="96" border="0" height="77" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> </tr> <tr style=""> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_bilangan" title="Teori bilangan"><span style="color:#000000;">Teori bilangan</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_abstrak" title="Aljabar abstrak"><span style="color:#000000;">Aljabar abstrak</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_grup" title="Teori grup"><span style="color:#000000;">Teori grup</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_orde&action=edit&redlink=1" title="Teori orde (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Teori orde</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> </tr> </tbody></table><div style="text-align: justify;"> </div><h3 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span class="mw-headline" style="font-size:85%;">Dasar dan filsafat</span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></h3><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Untuk memeriksa <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Dasar-dasar_matematika&action=edit&redlink=1" title="Dasar-dasar matematika (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">dasar-dasar matematika</span></a>, lapangan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika" title="Logika matematika"><span style="color:#000000;">logika matematika</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan"><span style="color:#000000;">teori himpunan</span></a> dikembangkan, juga <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_kategori" title="Teori kategori"><span style="color:#000000;">teori kategori</span></a> yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Dasawarsa" title="Dasawarsa"><span style="color:#000000;">dasawarsa</span></a> 1900-an sampai 1930-an.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-27"><span style="color:#000000;">[28]</span></a></sup> Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kontroversi_teori_Cantor&action=edit&redlink=1" title="Kontroversi teori Cantor (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">kontroversi teori himpunan Cantor</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kontroversi_Brouwer-Hilbert&action=edit&redlink=1" title="Kontroversi Brouwer-Hilbert (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">kontroversi Brouwer-Hilbert</span></a>.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aksiom&action=edit&redlink=1" title="Aksiom (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">aksiomatis</span></a> yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_ketaklengkapan_G%C3%B6del&action=edit&redlink=1" title="Teori ketaklengkapan Gödel (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Teori ketaklengkapan kedua Gödel</span></a>, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_formal&action=edit&redlink=1" title="Sistem formal (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">sistem formal</span></a> yang berisi aritmetika dasar, jika <i>suara</i> (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka <i>tak-lengkap</i> (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan <i>di dalam sistem itu</i>). Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sembarang&action=edit&redlink=1" title="Sembarang (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">sembarang</span></a> kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_rekursi&action=edit&redlink=1" title="Teori rekursi (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">teori rekursi</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_model&action=edit&redlink=1" title="Teori model (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">teori model</span></a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_pembuktian&action=edit&redlink=1" title="Teori pembuktian (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">teori pembuktian</span></a>, dan terpaut dekat dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_komputer" title="Ilmu komputer"><span style="color:#000000;">ilmu komputer</span></a> <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ilmu_komputer_teoretis&action=edit&redlink=1" title="Ilmu komputer teoretis (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">teoretis</span></a>.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><table class="MsoNormalTable" style="margin-left: 0px; border: 1pt solid rgb(221, 221, 221); text-align: left; margin-right: 0px;" border="1" cellpadding="0" cellspacing="15"> <tbody><tr style=""> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1059" type="#_x0000_t75" alt=" p \Rightarrow q \," style="'width:38.25pt;"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image049.gif" href="http://upload.wikimedia.org/math/a/6/4/a644166cefb23015623cb1670becf7b2.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image049.gif" alt=" p \Rightarrow q \," shapes="_x0000_i1059" width="51" border="0" height="15" /><!--[endif]--><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Venn_A_intersect_B.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1060" type="#_x0000_t75" alt="Venn A intersect B.svg" style="'width:96pt;" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image050.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Venn_A_intersect_B.svg/128px-Venn_A_intersect_B.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image051.gif" alt="Venn A intersect B.svg" shapes="_x0000_i1060" width="128" border="0" height="84" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Commutative_diagram_for_morphism.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1061" type="#_x0000_t75" alt="Commutative diagram for morphism.svg" style="'width:1in;height:1in'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image052.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/96px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image053.gif" alt="Commutative diagram for morphism.svg" shapes="_x0000_i1061" width="96" border="0" height="96" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> </tr> <tr style=""> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika" title="Logika matematika"><span style="color:#000000;">Logika matematika</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan"><span style="color:#000000;">Teori himpunan</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_kategori" title="Teori kategori"><span style="color:#000000;">Teori kategori</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><o:p> </o:p></span></p> <span style="font-size:85%;">
<br /></span></td> </tr> </tbody></table><div style="text-align: justify;"> </div><h3 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span class="mw-headline" style="font-size:85%;">Matematika diskret</span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></h3><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_diskret" title="Matematika diskret"><span style="color:#000000;">Matematika diskret</span></a> adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ilmu_komputer_teoretis&action=edit&redlink=1" title="Ilmu komputer teoretis (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">ilmu komputer teoretis</span></a>. Ini menyertakan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_komputabilitas_%28komputasi%29&action=edit&redlink=1" title="Teori komputabilitas (komputasi) (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">teori komputabilitas</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_kompleksitas_komputasional&action=edit&redlink=1" title="Teori kompleksitas komputasional (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">teori kompleksitas komputasional</span></a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_informasi" title="Teori informasi"><span style="color:#000000;">teori informasi</span></a>. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Mesin_turing&action=edit&redlink=1" title="Mesin turing (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Mesin turing</span></a>. Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Perangkat_keras" title="Perangkat keras"><span style="color:#000000;">perangkat keras</span></a> komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pemadatan_data&action=edit&redlink=1" title="Pemadatan data (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">pemadatan</span></a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Entropi_%28teori_informasi&action=edit&redlink=1" title="Entropi (teori informasi (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">entropi</span></a>.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah masalah "<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Masalah_P_%3D_NP&action=edit&redlink=1" title="Masalah P = NP (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">P=NP?</span></a>", salah satu <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Masalah_Hadiah_Milenium&action=edit&redlink=1" title="Masalah Hadiah Milenium (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Masalah Hadiah Milenium</span></a>.<sup><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-28"><span style="color:#000000;">[29]</span></a></sup><o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><table class="MsoNormalTable" style="margin-left: 0px; border: 1pt solid rgb(221, 221, 221); text-align: left; margin-right: 0px;" border="1" cellpadding="0" cellspacing="15"> <tbody><tr style=""> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1062" type="#_x0000_t75" alt="\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}" style="'width:103.5pt;height:51.75pt'"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image054.gif" href="http://upload.wikimedia.org/math/b/c/a/bca5b51d15b30266dc37decb94175dc2.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image054.gif" alt="\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}" shapes="_x0000_i1062" width="138" border="0" height="69" /><!--[endif]--><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:DFAexample.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1063" type="#_x0000_t75" alt="DFAexample.svg" style="'width:1in;" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image055.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/DFAexample.svg/96px-DFAexample.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image056.gif" alt="DFAexample.svg" shapes="_x0000_i1063" width="96" border="0" height="57" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Caesar3.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1064" type="#_x0000_t75" alt="Caesar3.svg" style="'width:1in;" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image057.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Caesar3.svg/96px-Caesar3.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image058.gif" alt="Caesar3.svg" shapes="_x0000_i1064" width="96" border="0" height="40" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:6n-graf.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1065" type="#_x0000_t75" alt="6n-graf.svg" style="'width:1in;" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image059.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5b/6n-graf.svg/96px-6n-graf.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image060.gif" alt="6n-graf.svg" shapes="_x0000_i1065" width="96" border="0" height="63" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> </td> </tr> <tr style=""> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika"><span style="color:#000000;">Kombinatorika</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_komputasi" title="Teori komputasi"><span style="color:#000000;">Teori komputasi</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kriptografi" title="Kriptografi"><span style="color:#000000;">Kriptografi</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="border: medium none; padding: 0.75pt;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_graf" title="Teori graf"><span style="color:#000000;">Teori graf</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> </tr> </tbody></table><div style="text-align: justify;"> </div><h3 style="text-align: justify; font-weight: normal;"><span class="mw-headline" style="font-size:85%;">Matematika terapan</span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></h3><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_terapan&action=edit&redlink=1" title="Matematika terapan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Matematika terapan</span></a> berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_pengetahuan" title="Ilmu pengetahuan"><span style="color:#000000;">ilmu pengetahuan</span></a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bisnis" title="Bisnis"><span style="color:#000000;">bisnis</span></a>, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Statistika" title="Statistika"><span style="color:#000000;">statistika</span></a>, yang menggunakan <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_peluang&action=edit&redlink=1" title="Teori peluang (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">teori peluang</span></a> sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Probabilitas" title="Probabilitas"><span style="color:#000000;">peluang</span></a> berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Statistikawan&action=edit&redlink=1" title="Statistikawan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">statistikawan</span></a>, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.) <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_numerik" title="Analisis numerik"><span style="color:#000000;">Analisis numerik</span></a> menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia; analisis numerik melibatkan pengkajian <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Galat_pemotongan&action=edit&redlink=1" title="Galat pemotongan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">galat pemotongan</span></a> atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div> <table class="MsoNormalTable" style="text-align: left; margin-left: 0px; margin-right: 0px;" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody><tr style=""> <td style="padding: 0cm;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Gravitation_space_source.png"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1066" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:90pt;height:60pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image061.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Gravitation_space_source.png/120px-Gravitation_space_source.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image062.gif" shapes="_x0000_i1066" width="120" border="0" height="80" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fisika_matematika&action=edit&redlink=1" title="Fisika matematika (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Fisika matematika</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="padding: 0cm;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:BernoullisLawDerivationDiagram.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1067" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:90pt;height:42pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image063.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/20/BernoullisLawDerivationDiagram.svg/120px-BernoullisLawDerivationDiagram.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image064.gif" shapes="_x0000_i1067" width="120" border="0" height="56" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_fluida" title="Mekanika fluida"><span style="color:#000000;">Mekanika fluida</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="padding: 0cm;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Composite_trapezoidal_rule_illustration_small.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1068" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:90pt;height:60pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image065.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Composite_trapezoidal_rule_illustration_small.svg/120px-Composite_trapezoidal_rule_illustration_small.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image066.gif" shapes="_x0000_i1068" width="120" border="0" height="80" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_numerik" title="Analisis numerik"><span style="color:#000000;">Analisis numerik</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="padding: 0cm;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Maximum_boxed.png"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1069" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:90pt;height:84.75pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image067.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Maximum_boxed.png/120px-Maximum_boxed.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image068.gif" shapes="_x0000_i1069" width="120" border="0" height="113" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Optimisasi_%28matematika%29" title="Optimisasi (matematika)"><span style="color:#000000;">Optimisasi</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> </tr> <tr style=""> <td style="padding: 0cm;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Two_red_dice_01.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1070" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:90pt;height:57.75pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image069.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Two_red_dice_01.svg/120px-Two_red_dice_01.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image070.gif" shapes="_x0000_i1070" width="120" border="0" height="77" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_peluang&action=edit&redlink=1" title="Teori peluang (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Teori peluang</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="padding: 0cm;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Oldfaithful3.png"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1071" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:90pt;height:90pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image071.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Oldfaithful3.png/120px-Oldfaithful3.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image072.gif" shapes="_x0000_i1071" width="120" border="0" height="120" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Statistika" title="Statistika"><span style="color:#000000;">Statistika</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="padding: 0cm;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Market_Data_Index_NYA_on_20050726_202628_UTC.png"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1072" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:90pt;height:60pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image073.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Market_Data_Index_NYA_on_20050726_202628_UTC.png/120px-Market_Data_Index_NYA_on_20050726_202628_UTC.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image074.gif" shapes="_x0000_i1072" width="120" border="0" height="80" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_keuangan&action=edit&redlink=1" title="Matematika keuangan (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Matematika keuangan</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="padding: 0cm;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Arbitrary-gametree-solved.svg"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1073" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:90pt;height:61.5pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image075.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Arbitrary-gametree-solved.svg/120px-Arbitrary-gametree-solved.svg.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image076.gif" shapes="_x0000_i1073" width="120" border="0" height="82" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_permainan" title="Teori permainan"><span style="color:#000000;">Teori permainan</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> </tr> <tr style=""> <td style="padding: 0cm;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Signal_transduction_v1.png"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1074" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:90pt;height:66pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image077.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Signal_transduction_v1.png/120px-Signal_transduction_v1.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image078.gif" shapes="_x0000_i1074" width="120" border="0" height="88" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Biologi_matematika&action=edit&redlink=1" title="Biologi matematika (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Biologi matematika</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="padding: 0cm;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Ch4-structure.png"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1075" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:87pt;height:90pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image079.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Ch4-structure.png/116px-Ch4-structure.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image080.gif" shapes="_x0000_i1075" width="116" border="0" height="120" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kimia_matematika" title="Kimia matematika"><span style="color:#000000;">Kimia matematika</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="padding: 0cm;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:GDP_PPP_Per_Capita_IMF_2008.png"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:90pt;height:41.25pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image081.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/GDP_PPP_Per_Capita_IMF_2008.png/120px-GDP_PPP_Per_Capita_IMF_2008.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image082.gif" shapes="_x0000_i1076" width="120" border="0" height="55" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ekonomi_matematika&action=edit&redlink=1" title="Ekonomi matematika (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Ekonomi matematika</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> <td style="padding: 0cm;"> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Simple_feedback_control_loop2.png"><span style="text-decoration: none;color:#000000;" ><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" alt="" style="'width:90pt;height:30.75pt'" button="t"> <v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\ADMINI~1\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image083.png" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Simple_feedback_control_loop2.png/120px-Simple_feedback_control_loop2.png"> </v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><img src="file:///C:/DOCUME%7E1/ADMINI%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image084.gif" shapes="_x0000_i1077" width="120" border="0" height="41" /><!--[endif]--></span></a><o:p></o:p></span></p> <p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_kontrol&action=edit&redlink=1" title="Teori kontrol (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Teori kontrol</span></a><o:p></o:p></span></p> </td> </tr> </tbody></table> <div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><o:p> </o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p style="text-align: justify;" class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><o:p> </o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><o:p> </o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;"><span style="font-size:85%;"><o:p> </o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><p class="MsoNormal" style="margin-left: 18pt; text-align: justify;"><span style="font-size:85%;">Referensi<o:p></o:p></span></p><div style="text-align: justify;"> </div><ul style="text-align: justify;" type="disc"><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Benson, Donald C., <i>The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies</i>, Oxford University Press, <st1:place st="on"><st1:country-region st="on">USA</st1:country-region></st1:place>; New Ed edition (December 14, 2000). <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0195139194"><span style="color:#000000;">ISBN 0-19-513919-4</span></a>.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Carl_B._Boyer&action=edit&redlink=1" title="Carl B. Boyer (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Boyer, Carl B.</span></a>, <i>A History of Mathematics</i>, Wiley; 2 edition (March 6, 1991). <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0471543977"><span style="color:#000000;">ISBN 0-471-54397-7</span></a>. — A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Courant, R. and H. Robbins, <i>What Is Mathematics? : An Elementary Approach to Ideas and Methods</i>, Oxford University Press, <st1:country-region st="on"><st1:place st="on">USA</st1:place></st1:country-region>; 2 edition (July 18, 1996). <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0195105192"><span style="color:#000000;">ISBN 0-19-510519-2</span></a>.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Philip_J._Davis&action=edit&redlink=1" title="Philip J. Davis (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Davis, Philip J.</span></a> and <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Reuben_Hersh&action=edit&redlink=1" title="Reuben Hersh (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Hersh, Reuben</span></a>, <i><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=The_Mathematical_Experience&action=edit&redlink=1" title="The Mathematical Experience (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">The Mathematical Experience</span></a></i>. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0395929687"><span style="color:#000000;">ISBN 0-395-92968-7</span></a>. — A gentle introduction to the world of mathematics.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><cite><span style="font-style: normal;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein"><span style="color:#000000;">Einstein, Albert</span></a> (1923). "Sidelights on Relativity (Geometry and Experience)".</span></cite></span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Eves, Howard, <i>An Introduction to the History of Mathematics</i>, Sixth Edition, Saunders, 1990, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0030295580"><span style="color:#000000;">ISBN 0-03-029558-0</span></a>.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Gullberg, Jan, <i>Mathematics — From the Birth of Numbers</i>. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/039304002X"><span style="color:#000000;">ISBN 0-393-04002-X</span></a>. — An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Hazewinkel, Michiel (ed.), <i><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Encyclopaedia_of_Mathematics&action=edit&redlink=1" title="Encyclopaedia of Mathematics (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Encyclopaedia of Mathematics</span></a></i>. Kluwer Academic Publishers 2000. — A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online <a href="http://eom.springer.de/default.htm"><span style="color:#000000;">[1]</span></a>.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Jourdain, Philip E. B., <i>The Nature of Mathematics</i>, in <i>The World of Mathematics</i>, James R. Newman, editor, Dover, 2003, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0486432688"><span style="color:#000000;">ISBN 0-486-43268-8</span></a>.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Morris_Kline&action=edit&redlink=1" title="Morris Kline (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Kline, Morris</span></a>, <i>Mathematical Thought from Ancient to Modern Times</i>, Oxford University Press, <st1:country-region st="on"><st1:place st="on">USA</st1:place></st1:country-region>; Paperback edition (March 1, 1990). <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0195061357"><span style="color:#000000;">ISBN 0-19-506135-7</span></a>.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Monastyrsky, Michael. "<i><a href="http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf"><span style="color:#000000;">Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal</span></a></i>" (PDF). Canadian Mathematical Society. Diakses pada 28 Juli 2006.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Oxford_English_Dictionary" title="Oxford English Dictionary"><span style="color:#000000;">Oxford English Dictionary</span></a>, second edition, ed. John Simpson and Edmund Weiner, Clarendon Press, 1989, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0198611862"><span style="color:#000000;">ISBN 0-19-861186-2</span></a>.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><i><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=The_Oxford_Dictionary_of_English_Etymology&action=edit&redlink=1" title="The Oxford Dictionary of English Etymology (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">The Oxford Dictionary of English Etymology</span></a></i></span><span style="font-size:85%;">, 1983 reprint. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0198611129"><span style="color:#000000;">ISBN 0-19-861112-9</span></a>.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Pappas, Theoni, <i>The Joy Of Mathematics</i>, Wide World Publishing; Revised edition (June 1989). <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0933174659"><span style="color:#000000;">ISBN 0-933174-65-9</span></a>.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><cite><span style="font-style: normal;">Peirce, Benjamin. <a href="http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9327%281881%294%3A1%2F4%3C97%3ALAA%3E2.0.CO%3B2-X"><span style="color:#000000;">"Linear Associative Algebra"</span></a>. </span></cite><cite>American Journal of Mathematics</cite><cite><span style="font-style: normal;"> (Vol. 4, No. 1/4. (1881).</span></cite></span><span style="font-size:85%;"> <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=JSTOR&action=edit&redlink=1" title="JSTOR (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">JSTOR</span></a>.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Peterson, Ivars, <i>Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics</i>, Owl Books, 2001, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0805071598"><span style="color:#000000;">ISBN 0-8050-7159-8</span></a>.<o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span class="citationbook" style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=John_Allen_Paulos&action=edit&redlink=1" title="John Allen Paulos (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Paulos, John Allen</span></a> (1996). <i>A Mathematician Reads the Newspaper</i>. Anchor. <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=International_Standard_Book_Number&action=edit&redlink=1" title="International Standard Book Number (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">ISBN</span></a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0-385-48254-X" title="Istimewa:Sumber buku/0-385-48254-X"><span style="color:#000000;">0-385-48254-X</span></a>.</span><span class="z3988" style="font-size:85%;"><span style="display: none;"> </span></span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span class="citationbook" style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Karl_Popper" title="Karl Popper"><span style="color:#000000;">Popper, Karl R.</span></a> (1995). "On knowledge". <i>In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years</i>. Routledge. <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=International_Standard_Book_Number&action=edit&redlink=1" title="International Standard Book Number (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">ISBN</span></a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/0-415-13548-6" title="Istimewa:Sumber buku/0-415-13548-6"><span style="color:#000000;">0-415-13548-6</span></a>.</span><span class="z3988" style="font-size:85%;"><span style="display: none;"> </span></span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><cite><span style="font-style: normal;">Riehm, Carl (August 2002). <a href="http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf"><span style="color:#000000;">"The Early History of the Fields Medal"</span></a> (PDF). </span></cite><cite>Notices of the AMS</cite><cite><span style="font-style: normal;"> 49 (7): 778–782.</span></cite></span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;"><cite><span style="font-style: normal;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Mikhail_B._Sevryuk&action=edit&redlink=1" title="Mikhail B. Sevryuk (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Sevryuk, Mikhail B.</span></a> (January 2006). <a href="http://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01069-4/S0273-0979-05-01069-4.pdf"><span style="color:#000000;">"Book Reviews"</span></a> (PDF). </span></cite><cite><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bulletin_of_the_American_Mathematical_Society&action=edit&redlink=1" title="Bulletin of the American Mathematical Society (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Bulletin of the American Mathematical Society</span></a></cite><cite><span style="font-style: normal;"> 43 (1): 101–109. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier"><span style="color:#000000;">DOI</span></a>:<a href="http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-05-01069-4"><span style="color:#000000;">10.1090/S0273-0979-05-01069-4</span></a> Diakses pada 24 Juni 2006.</span></cite></span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span class="citationbook" style="font-size:85%;"><a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Wolfgang_Sartorius_von_Waltershausen&action=edit&redlink=1" title="Wolfgang Sartorius von Waltershausen (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">Waltershausen, Wolfgang Sartorius von</span></a> (1856, repr. 1965). <a href="http://www.amazon.de/Gauss-Ged%e4chtnis-Wolfgang-Sartorius-Waltershausen/dp/3253017028"><i><span style="color:#000000;">Gauss zum Gedächtniss</span></i></a>. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. <a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=International_Standard_Book_Number&action=edit&redlink=1" title="International Standard Book Number (halaman belum tersedia)"><span style="color:#000000;">ISBN</span></a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Istimewa:Sumber_buku/3-253-01702-8" title="Istimewa:Sumber buku/3-253-01702-8"><span style="color:#000000;">3-253-01702-8</span></a></span><span class="printonly" style="font-size:85%;">. <a href="http://www.amazon.de/Gauss-Ged%e4chtnis-Wolfgang-Sartorius-Waltershausen/dp/3253017028"><span style="color:#000000;">http://www.amazon.de/Gauss-Ged%e4chtnis-Wolfgang-Sartorius-Waltershausen/dp/3253017028</span></a></span><span class="citationbook" style="font-size:85%;">.</span><span class="z3988" style="font-size:85%;"><span style="display: none;"> </span></span><span style="font-size:85%;"><o:p></o:p></span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size:85%;">Ziman, J.M., F.R.S.. "<i><a href="http://info.med.yale.edu/therarad/summers/ziman.htm"><span style="color:#000000;">Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science</span></a></i>".<o:p></o:p></span></li></ul> Unknownnoreply@blogger.com0