Teori Himpunan

Himpunan (set)



• Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Cara Penyajian Himpunan

1. Enumerasi


Contoh 1.
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
x  A : x merupakan anggota himpunan A;
x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A.


Contoh 2.
Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
K = {{}}
maka
3 * A
5 * B
{a, b, c}  R
c  R
{}  K
{}  R
Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka
a  P1
a  P2
P1  P2
P1  P3
P2  P3


2. Simbol-simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks


• Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.


3. Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x  syarat yang harus dipenuhi oleh x }


Contoh 4.
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau
A = { x | x * P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}


4. Diagram Venn

Contoh 5.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:





Kardinalitas
• Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
• Notasi: n(A) atau A 

Contoh 6.
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },
atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8
(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5
(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3

Himpunan Kosong
• Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
• Notasi :  atau {}


Contoh 7.
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

• himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
• himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}
• {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.


Himpunan Bagian (Subset)
• Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
• Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
• Notasi: A  B

• Diagram Venn:




Contoh 8.
(i) { 1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3}  {1, 2, 3}
(iii) N * Z * R * C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y  0 } dan
B = { (x, y) | 2x + y < 4, x  0 dan y  0 }, maka B * A.









TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A * A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( * * A).
(c) Jika A  B dan B  C, maka A  C

• * * A dan A * A, maka * dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan  adalah improper subset dari A.

• A  B berbeda dengan A  B
(i) A  B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A  B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}

(ii) A  B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.


Himpunan yang Sama
• A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
• A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A  B.

• Notasi : A = B  A  B dan B  A


Contoh 9.
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A  B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C


Himpunan yang Ekivalen

• Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

• Notasi : A ~ B  A = B


Contoh 10.
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4


Himpunan Saling Lepas
• Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

• Notasi : A // B

• Diagram Venn:


Contoh 11.
Jika A = { x | x * P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Himpunan Kuasa

• Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

• Notasi : P(A) atau 2A

• Jika A = m, maka P(A) = 2m.

Contoh 12.
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { *, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13.
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.

Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)

• Notasi : A  B = { x  x  A dan x  B }



Contoh 14.
(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},
maka A  B = {4, 10}
(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A * B = *.
Artinya: A // B
b. Gabungan (union)

• Notasi : A  B = { x  x  A atau x  B }



Contoh 15.
(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A * B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii) A * * = A


c. Komplemen (complement)

• Notasi : = { x  x  U, x  A }




Contoh 16.
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}
(ii) jika A = { x | x/2 * P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }

Contoh 17. Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri”  (E  A)  (E  B) atau E  (A  B)

(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta”  A  C  D

(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” 


d. Selisih (difference)

• Notasi : A – B = { x  x  A dan x  B } = A 




Contoh 18.
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = *
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

• Notasi: A  B = (A  B) – (A  B) = (A – B)  (B – A)


Contoh 19.
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A * B = { 3, 4, 5, 6 }



Contoh 20. Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P  Q
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P  Q
(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P  Q)

TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A  B = B  A (hukum komutatif)
(b) (A  B )  C = A  (B  C ) (hukum asosiatif)












f. Perkalian Kartesian (cartesian product)

• Notasi: A  B = {(a, b)  a  A dan b  B }


Contoh 20.
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C  D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A  B = himpunan semua titik di bidang datar

Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A  B = A . B.
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b)  (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A  B  B  A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, D  C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }  C  D.
4. Jika A =  atau B = , maka A  B = B  A = 

Contoh 21. Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab:
A  B = AB = 4  3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.
Contoh 21. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a) P(Æ) (b) Æ ´ P(Æ) (c) {Æ}´ P(Æ) (d) P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P(Æ) = {Æ}
(b) Æ ´ P(Æ) = Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)
(c) {Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))
(d) P(P({3})) = P({ Æ, {3} }) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} }


Perampatan Operasi Himpunan








Contoh 22.

(i) A *(B1*B2 * ... *Bn) = (A* B1) * (A * B2) * ... * (A * Bn)


(ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, }, maka
A  B  C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ), (2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) }






Hukum-hukum Himpunan

1. Hukum identitas:
* A * * = A
* A * U = A
2. Hukum null/dominasi:
* A * * = *
* A * U = U

3. Hukum komplemen:
* A * = U
* A * = *
4. Hukum idempoten:
* A * A = A
* A * A = A

5. Hukum involusi:
* = A
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
* A * (A * B) = A
* A * (A * B) = A

7. Hukum komutatif:
* A * B = B * A
* A * B = B * A
8. Hukum asosiatif:
* A * (B * C) = (A * B) * C
* A * (B * C) = (A * B) * C

9. Hukum distributif:
* A * (B * C) = (A * B) * (A * C)
* A * (B * C) = (A * B) * (A * C)
10. Hukum De Morgan:
* =
* =

11. Hukum 0/1
* = U
* = 














Prinsip Dualitas
• Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.
Contoh: AS  kemudi mobil di kiri depan
Inggris (juga Indonesia)  kemudi mobil di kanan depan
Peraturan:
(a) di Amerika Serikat,
- mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,
- pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,
- bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

(b) di Inggris,
- mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
- pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,
- bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas:
Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.


• (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti *, *, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti *  *, *  *, *  U, U  *, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.



1. Hukum identitas:
A * * = A
Dualnya:
A * U = A

2. Hukum null/dominasi:
A * * = *
Dualnya:
A * U = U

3. Hukum komplemen:
A * = U
Dualnya:
A * = *

4. Hukum idempoten:
A * A = A
Dualnya:
A * A = A

5. Hukum penyerapan:
A * (A * B) = A
Dualnya:
A * (A * B) = A

6. Hukum komutatif:
A * B = B * A
Dualnya:
A * B = B * A

7. Hukum asosiatif:
A * (B * C) = (A * B) * C
Dualnya:
A * (B * C) = (A * B) * C

8. Hukum distributif:
A * (B * C)=(A * B) * (A * C)
Dualnya:
A * (B * C) = (A * B) * (A * C)

9. Hukum De Morgan:
= *
Dualnya:
= *

10. Hukum 0/1
= U
Dualnya:
= 


Contoh 23. Dual dari (A * B) * (A * ) = A adalah
(A * B) * (A * ) = A.




Prinsip Inklusi-Eksklusi

Untuk dua himpunan A dan B:

A  B = A + B – A  B

A  B = A +B – 2A  B


Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A  B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),

yang ditanyakan adalah A  B.

A = 100/3 = 33,
B = 100/5 = 20,
A  B = 100/15 = 6

A  B = A + B – A  B = 33 + 20 – 6 = 47

Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.

Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku

A  B  C = A + B + C – A  B –
A  C – B  C + A  B  C


Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:

A1  A2  …  Ar = Ai – Ai  Aj +
Ai  Aj  Ak + … +
(-1)r-1 A1  A2  …  Ar

Partisi
• Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
(a) A1  A2  … = A, dan
(b) Ai  Aj =  untuk i  j

Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.


Himpunan Ganda
• Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
• Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.

• Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.

• Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.
Operasi Antara Dua Buah Multiset:
Misalkan P dan Q adalah multiset:

1. P * Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },
P * Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }


2. P * Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }
P * Q = { a, a, c }


3. P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan:
* multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif
* 0, jika selisihnya nol atau negatif.
Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c,
c, d, d, f } maka P – Q = { a, e }


4. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },
P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }



Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan
• Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
• Pernyataan dapat berupa:
1. Kesamaan (identity)
Contoh: Buktikan “A  (B  C) = (A  B)  (A  C)”
2. Implikasi
Contoh: Buktikan bahwa “Jika A  B =  dan A  (B  C) maka selalu berlaku bahwa A  C”.


1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A  (B  C) = (A  B)  (A  C) dengan diagram Venn.
Bukti:

A  (B  C) (A  B)  (A  C)

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C).


• Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
• Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.

2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan

Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

Bukti:

A B C B  C A  (B  C) A  B A  C (A  B)  (A  C)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Karena kolom A  (B  C) dan kolom (A  B)  (A  C) sama, maka A  (B  C) = (A  B)  (A  C).


3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.
Contoh 28. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A  B)  (A  ) = A
Bukti:
(A  B)  (A  ) = A  (B  ) (Hukum distributif)
= A  U (Hukum komplemen)
= A (Hukum identitas)

Contoh 29. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A  (B – A) = A  B
Bukti:
A  (B – A) = A  (B  ) (Definisi operasi selisih)
= (A  B)  (A  ) (Hukum distributif)
= (A  B)  U (Hukum komplemen)
= A  B (Hukum identitas)

Contoh 30. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa
(i) A  (  B) = A  B dan
(ii) A  (  B) = A  B
Bukti:
(i) A  (  B) = ( A  )  (A  B) (H. distributif)
= U  (A  B) (H. komplemen)
= A  B (H. identitas)

(ii) adalah dual dari (i)
A  (  B) = (A  )  (A  B) (H. distributif)
=   (A  B) (H. komplemen)
= A  B (H. identitas)


4. Pembuktian dengan menggunakan definisi
• Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian ( atau ).

Contoh 31. Misalkan A dan B himpunan. Jika A  B =  dan A  (B  C) maka A  C. Buktikan!
Bukti:
(i) Dari definisi himpunan bagian, P  Q jika dan hanya jika setiap x  P juga  Q. Misalkan x  A. Karena A  (B  C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga  (B  C).
Dari definisi operasi gabungan (), x  (B  C) berarti x  B atau x  C.
(ii) Karena x  A dan A  B = , maka x  B

Dari (i) dan (ii), x  C harus benar. Karena x  A juga berlaku x  C, maka dapat disimpulkan A  C .

Tipe Set dalam Bahasa Pascal
• Bahasa Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal (integer, character).

Contoh:

type
HurufBesar = ‘A’..‘Z’; { enumerasi }
Huruf = set of HurufBesar;
var
HurufKu : Huruf;


Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’];
HurufKu:=[‘M’];
HurufKu:=[]; { himpunan kosong }

• Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan adalah operasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut:

{gabungan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];

{irisan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];

{selisih}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’, ‘E’];

• Uji keanggotaan sebuah elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in seperti contoh berikut:

if ‘A’ in HurufKu then ...
• Di dalam kakas pemrograman Delphi, set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan icon untuk window:

type
TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize,
biMaximaze);
Huruf = set of TBoderIcon;